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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.Revisão - Ex. 3

Nos exercícios de 1 a 18, calcule o limite, se existir.

lim x → 0 + ⁡ c o s e c 2 x - x - 2

Passo 1

Nesta seção, a maioria dos limites que formos resolver estão associados com alguma forma indeterminada. As formas indeterminadas mais comuns são ∞ ∞ e 0 0 . Existe também outras formas indeterminadas como ∞ 0   ,   1 ∞   e   0 0 .

Para resolvermos os limites que estão sujeitos à algumas dessas formas indeterminadas, podemos utilizar a Regra de L´Hôspital. Essa regra nos diz que ao encontrar uma das formas indeterminadas no cálculo de algum limite devemos derivar o numerado e o denominador, separadamente, até que a indeterminação deixe de existir.

Em alguns casos devemos fazer com que apareçam essas indeterminações, por meio de artifícios matemáticos, para que possamos aplicar a Regra de L´Hôspital e a resolução do limite se tornar mais fácil.

Passo 2

Sendo assim, calculando o limite em questão temos que:

lim x → 0 + ⁡ c o s e c 2 x - x - 2 = lim x → 0 + ⁡ 1 s e n 2 x - 1 x 2 = lim x → 0 + ⁡ x 2 - s e n 2 x s e n 2 x . x 2 =

= l i m x → 0 + x s e n x 2 .   l i m x → 0 + x 2 - s e n 2 x x 4 = l i m x → 0 + x 2 - s e n 2 x x 4 = ⏞ 0 0   L ´ H

= l i m x → 0 + 2 x - 2 s e n x . c o s x 4 x 3 = ⏞ 0 0   L ´ H l i m x → 0 + 2 - cos ⁡ 2 x . 2 12 x 2 = ⏞ 0 0   L ´ H l i m x → 0 + 2 s e n 2 x . 2 24 x = ⏞ 0 0   L ´ H

= l i m x → 0 + 4 cos ⁡ 2 x . 2 24 = 1 3

Resposta

lim x → 0 + ⁡ c o s e c 2 x - x - 2 = 1 3

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