Enunciado

Calcule o limite, se existir.

underset(x -> + oo)(lim) (ln (x + e^x))/(3 x)

Passo 1

Como se trata de uma indeterminação (oo)/(oo) vamos aplicar L’Hôpital.

underset(x -> + oo)(lim) (ln (x + e^x))/(3 x) = (1)/(3) underset(x -> + oo)(lim) ((1 + e^x)/(x + e^x))/(1)

Passo 2

Como ainda temos a indeterminação (oo)/(oo) aplicaremos L’Hôpital novamente no limite

(1)/(3) underset(x -> + oo)(lim) (1 + e^x)/(x + e^x) = (1)/(3) underset(x -> + oo)(lim) (e^x)/(1 + e^x)

Passo 3

Como ainda temos a indeterminação (oo)/(oo) aplicaremos L’Hôpital mais uma vez no limite

(1)/(3) underset(x -> + oo)(lim) (e^x)/(1 + e^x) = (1)/(3) underset(x -> + oo)(lim) (e^x)/(e^x) = (1)/(3) underset(x -> + oo)(lim) 1 = (1)/(3)

Resposta

underset(x -> + oo)(lim) (ln (x + e^x))/(3 x) = (1)/(3)

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