Calcule o limite, se existir.

lim x → + ∞ ⁡ x 2 - x 4 - x 2 + 2

Passo 1

Como se trata de um indeterminação ∞ - ∞ , vamos aplicar algumas manipulações para chegar na indeterminação ∞ ∞ ou 0 0 . Dessa forma vamos achar multiplicar e dividir a expressão pelo seu conjugado..

lim x → + ∞ ⁡ x 2 - x 4 - x 2 + 2 ∙ x 2 + x 4 - x 2 + 2 x 2 + x 4 - x 2 + 2

lim x → + ∞ ⁡ x 4 - x 4 - x 2 + 2 x 2 + x 4 - x 2 + 2 = lim x → + ∞ ⁡ x 2 - 2 x 2 + x 4 - x 2 + 2

Passo 2

Aplicando L’Hôpital no limite e aplicando algumas manipulações temos lim x → + ∞ ⁡ x 2 - 2 x 2 + x 4 - x 2 + 2 = lim x → + ∞ ⁡ 2 x 2 x + 4 x 3 - 2 x   2 x 4 - x 2 + 2    

lim x → + ∞ ⁡ 2 x 4 x x 4 - x 2 + 2     + 4 x 3 - 2 x   2 x 4 - x 2 + 2    

lim x → + ∞ ⁡ 4 x x 4 - x 2 + 2     4 x x 4 - x 2 + 2     + 4 x 3 - 2 x

lim x → + ∞ ⁡ 4 x x 4 1 - 1 x 2 + 2 x 4     4 x x 4 1 - 1 x 2 + 2 x 4     + 4 x 3 - 2 x

lim x → + ∞ ⁡ 4 x 3 1 - 1 x 2 + 2 x 4     4 x 3 1 - 1 x 2 + 2 x 4     + 4 x 3 - 2 x

lim x → + ∞ ⁡ 4 x 3 1 - 1 x 2 + 2 x 4     4 x 3 1 - 1 x 2 + 2 x 4     + 1 - 1 2 x 2

Passo 3

Resolvendo o limite temos  

lim x → + ∞ ⁡ 1 - 1 x 2 + 2 x 4     1 - 1 x 2 + 2 x 4     + 1 - 1 2 x 2 = 1 2

Resposta

lim x → + ∞ ⁡ x 2 - x 4 - x 2 + 2 = 1 2

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