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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.2 - Ex. 15

Calcule o limite, se existir.

underset(x -> + oo)(lim) (x^2 - sqrt(x^4 - x^2 + 2))

Passo 1

Como se trata de um indeterminação oo - oo , vamos aplicar algumas manipulações para chegar na indeterminação (oo)/(oo) ou (0)/(0) . Dessa forma vamos achar multiplicar e dividir a expressão pelo seu conjugado..

underset(x -> + oo)(lim) (x^2 - sqrt(x^4 - x^2 + 2)) * ((x^2 + sqrt(x^4 - x^2 + 2)))/((x^2 + sqrt(x^4 - x^2 + 2)))

underset(x -> + oo)(lim) ((x^4 - (x^4 - x^2 + 2)))/((x^2 + sqrt(x^4 - x^2 + 2))) = underset(x -> + oo)(lim) (x^2 - 2)/((x^2 + sqrt(x^4 - x^2 + 2)))

Passo 2

Aplicando L’Hôpital no limite e aplicando algumas manipulações temos underset(x -> + oo)(lim) (x^2 - 2)/((x^2 + sqrt(x^4 - x^2 + 2))) = underset(x -> + oo)(lim) (2 x)/((2 x + (4 x^3 - 2 x)/(2 sqrt(x^4 - x^2 + 2 ))))

underset(x -> + oo)(lim) (2 x)/(((4 x sqrt(x^4 - x^2 + 2 ) + 4 x^3 - 2 x)/(2 sqrt(x^4 - x^2 + 2 ))))

underset(x -> + oo)(lim) (4 x sqrt(x^4 - x^2 + 2 ))/((4 x sqrt(x^4 - x^2 + 2 ) + 4 x^3 - 2 x))

underset(x -> + oo)(lim) (4 x sqrt(x^4 (1 - (1)/(x^2) + (2)/(x^4)) ))/((4 x sqrt(x^4 (1 - (1)/(x^2) + (2)/(x^4)) ) + 4 x^3 - 2 x))

underset(x -> + oo)(lim) (4 x^3 sqrt((1 - (1)/(x^2) + (2)/(x^4)) ))/((4 x^3 sqrt((1 - (1)/(x^2) + (2)/(x^4)) ) + 4 x^3 - 2 x))

underset(x -> + oo)(lim) (4 x^3 sqrt((1 - (1)/(x^2) + (2)/(x^4)) ))/(4 x^3 (sqrt((1 - (1)/(x^2) + (2)/(x^4)) ) + 1 - (1)/(2 x^2)))

Passo 3

Resolvendo o limite temos

underset(x -> + oo)(lim) (sqrt((1 - (1)/(x^2) + (2)/(x^4)) ))/((sqrt((1 - (1)/(x^2) + (2)/(x^4)) ) + 1 - (1)/(2 x^2))) = (1)/(2)

Resposta

underset(x -> + oo)(lim) (x^2 - sqrt(x^4 - x^2 + 2)) = (1)/(2)

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Calcule o limite, se ele existir lim x → 1 / 2 + ⁡ 2 x - 1 t g ( π x )
Use a regra de l’Hôpital para determinar o limite abaixo: lim θ → π 2 ⁡ ln ⁡ ( c o s s e cx ) x - π 2 2
Use a regra de l’Hôpital para determinar o limite abaixo: lim θ → π 2 ⁡ 2 θ - π cos ⁡ ( 2 π - θ )
Use a regra de l’Hôpital para determinar o limite abaixo: lim θ → π 2 ⁡ 1 - s e n( θ ) 1 + cos ⁡ ( 2 θ )
Use a regra de l’Hôpital para determinar o limite abaixo: lim x → 1 ⁡ x - 1 ln ⁡ x - s e nπ x