Calcule o limite, se existir.

16) lim x → - 1 ⁡ x ² - 4 x x ² - 3 x - 4

Passo 1

Olá, meu parceiro. Vamos dar o início a mais uma resolução.

Aqui queremos resolver o limite da função dada quando nos aproximamos de x → - 1 , ou iremos mostrar que esse limite não existe e explicar o porquê dele não existir.

Veja que para que o limite

lim x → a ⁡ f ( x ) = L

De uma função exista, temos que satisfazer a condição:

lim x → a + ⁡ f ( x ) = L = lim x → a - ⁡ f ( x ) = L

Isso é, os limites laterais da função devem ser iguais.

Seja a nossa função a

f x = x 2 - 4 x x 2 - 3 x - 4

  • Por conta da função não estar definida em f ( - 1 ) , pois - 1 é raiz do seu denominador, não podemos apenas substituir x = - 1 como em outros casos;
  • A estratégia aqui é reescrevermos a função, simplificarmos a função e aí sim calcularmos os seus limites laterais;
  • Casos eles sejam iguais, temos o nosso limite, caso sejam distintos, nosso limite não existe.

Passo 2

Primeiro então vamos reescrever o nosso numerador:

x 2 - 4 x = x x - 4

Agora vamos reescrever o denominador:

x 2 - 3 x - 4

Para isso vamos encontrar as raízes dele:

Δ = 9 - 4 1 - 4

Δ = 25

x = 3 ± 5 2

x ' = 4

x ' ' = - 1

Agora sim, vamos reescrever:

x + 1 x + 4

Dessa forma, temos:

f x = x 2 - 4 x x 2 - 3 x - 4 = x ( x - 4 ) ( x + 1 ) ( x - 4 )

f x = x x + 1

Agora vamos ao cálculo do limite lateral direito:

lim x → - 1 + ⁡ x x + 1 = - ∞

Este limite tende a valores MUITOOOOO grandes negativos quando nos aproximamos de - 1 por valores infinitesimalmente maiores que - 1 .

Agora vamos ao cálculo do limite lateral esquerdo:

lim x → - 1 - ⁡ x x + 1 = ∞

Este limite tende a valores MUITOOOOO grandes positivos quando nos aproximamos de - 1 por valores infinitesimalmente menores que - 1 .

Vimos então que os limites laterais são diferentes, sendo assim o limite não existe.

Resposta

lim x → - 1 ⁡ x ² - 4 x x ² - 3 x - 4 = n ã o   e x i s t e   !

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados