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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 3.10 - Ex. 19

Calcule o limite.

underset(h -> - 4)(lim) (sqrt(2 (h^2 - 8)) + h)/(h + 4)

Passo 1

A primeira coisa que podemos tentar é substituir o - 4 . Então vamos lá!

L = (sqrt(2 ((- 4)^2 - 8)) - 4)/(- 4 + 4)

Assim,

L = (sqrt(2 * 8) - 4)/(0) -> L = (0)/(0)

Opa, como chegamos numa indeterminação temos que dar uma mexida na expressão para tirar essa indeterminação. Como temos o termo sqrt(2 (h^2 - 8)) + h a ideia será multiplicar pelo conjugado em cima e em baixo. Se não lembra, vem comigo!

Passo 2

O conjugado de sqrt(2 (h^2 - 8)) + h será:

sqrt(2 (h^2 - 8)) - h

Assim,

L = underset(h -> - 4)(lim) (sqrt(2 (h^2 - 8)) + h)/(h + 4) * (sqrt(2 (h^2 - 8)) - h)/(sqrt(2 (h^2 - 8)) - h)

Agora repare que no numerador apareceu uma expressão do tipo:

(a - b) (a + b)

E essa expressão é conhecida!

(a - b) (a + b) = a^2 - b^2

Assim, nosso limite vai ficar o seguinte:

L = underset(h -> - 4)(lim) ((sqrt(2 (h^2 - 8)))^2 - h^2)/((h + 4) (sqrt(2 (h^2 - 8)) - h))

Elevando os termos ao quadrado:

L = underset(h -> - 4)(lim) (2 (h^2 - 8) - h^2)/((h + 4) (sqrt(2 (h^2 - 8)) - h))

Simplificando o numerador:

L = underset(h -> - 4)(lim) (h^2 - 16)/((h + 4) (sqrt(2 (h^2 - 8)) - h))

Passo 3

Opa, mas agora apareceu uma diferença de quadrados no numerador.

L = underset(h -> - 4)(lim) (h^2 - 4^2)/((h + 4) (sqrt(2 (h^2 - 8)) - h))

Assim,

L = underset(h -> - 4)(lim) ((h - 4) (h + 4))/((h + 4) (sqrt(2 (h^2 - 8)) - h))

Cortando o h + 4 :

L = underset(h -> - 4)(lim) (h - 4)/(sqrt(2 (h^2 - 8)) - h)

Agora basta fazermos h = - 4 e correr pro abraço. Assim,

L = underset(h -> - 4)(lim) (- 4 - 4)/(sqrt(2 ((- 4)^2 - 8)) - (- 4))

Logo,

L = (- 4 - 4)/(4 + 4) -> L = - 1

Resposta

L = - 1

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