Calcule o limite.

underset(x -> 0)(lim) (sqrt(1 + x) - 1)/(- x)

Passo 1

Inicialmente, vamos fazer x = 0 para ver se já conseguimos achar o limite.

L = (sqrt(1 + 0) - 1)/(- 0)

Assim,

L = (0)/(0)

Opa, como chegamos numa indeterminação temos que dar uma mexida na expressão para tirar essa indeterminação. Como temos o termo sqrt(1 + x) - 1 a ideia será multiplicar pelo conjugado em cima e em baixo. Se não lembra, vem comigo!

Passo 2

O conjugado de sqrt(1 + x) - 1 será:

sqrt(1 + x) + 1

Assim,

L = underset(x -> 0)(lim) (sqrt(1 + x) - 1)/(- x) * (sqrt(1 + x) + 1)/(sqrt(1 + x) + 1)

Agora repare que no numerador apareceu uma expressão do tipo:

(a - b) (a + b)

E essa expressão é conhecida!

(a - b) (a + b) = a^2 - b^2

Assim, nosso limite vai ficar o seguinte:

L = underset(x -> 0)(lim) ((sqrt(1 + x))^2 - 1^2)/(- x (sqrt(1 + x) + 1))

Elevando os termos ao quadrado:

L = underset(x -> 0)(lim) (1 + x - 1)/(- x (sqrt(1 + x) + 1))

Logo,

L = underset(x -> 0)(lim) (x)/(- x (sqrt(1 + x) + 1))

Passo 3

Pra fechar com chave de ouro é só cortar o x . Assim,

L = underset(x -> 0)(lim) (- 1)/(sqrt(1 + x) + 1)

Agora basta fazermos x = 0 e correr pro abraço. Assim,

L = (- 1)/(sqrt(1) + 1) -> L = - (1)/(2)

Resposta

L = - (1)/(2)

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