Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 5.3 - Ex. 76
Calcule o limite, reconhecendo primeiro a soma como uma soma de Riemann para uma função definida em .
Passo 1
Fala aí, eu sou o Rafha do Responde aí e vou te ajudar nessa questão.
Aqui temos o seguinte limite e devemos calcula-lo:
O enunciado pede para identificarmos o limite como uma soma de Riemann para uma função definida entre .
A definição de interal é que ela é uma soma de Riemann dada por:
Onde temos:
E
Sendo e os extremos do intervalo de integração.
Dessa forma, devemos olhar para o limite e encontrar qual é a função e então resolver a integral.
Passo 2
Verificando a nossa expressão temos:
Repare que a expressão dada se trata de um somatório que é:
Dessa forma, podemos escrever:
Como a função é definida entre , teremos então:
Além disso, temos:
Dessa forma podemos escrever:
Bom, essa igualdade é verdadeira se:
Passo 3
Descobrimos no Passo 2 que nossa função é:
Pela definição de integral temos:
Onde no nosso caso, ficamos com:
Dessa forma, basta resolver a integral para encontrar o valor desse limite:
Realizando a soma no expoente e no denominador, temos:
Substituindo os limites de integração temos:
E tá pronto o sorvetinho!