Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 5.3 - Ex. 86
Uma companhia de alta tecnologia compra um novo sistema computacional cujo valor inicial é . O sistema depreciará a uma taxa e acumulará custos de manutenção a uma taxa , onde é o tempo medido em meses. A companhia quer determinar o tempo ótimo para substituir o sistema
a) Seja
Mostre que os números críticos de ocorrem nos números nos quais .
b) Suponha que
E
Determine o período de tempo para que a depreciação total seja igual ao valor inicial
c) Determine o mínimo absoluto de em
d) Esboce os gráficos de e no mesmo sistema de coordenadas e verifique o resultado da parte (a) nesse caso
Passo 1
Eaeee, belezinha??
Bom, essa questão basicamente nos diz que uma companhia compra um sistema computacional cujo valor inicial é . Sabemos que o sistema depreciará a uma taxa e acumulará custos de manutenção a uma taxa , onde é o tempo medido em meses. A companhia quer determinar o tempo ótimo para substituir o sistema. E para isso devemos responder a alguns itens.
No item a) vamos considerar que
E devemos mostrar que os números críticos de ocorrem nos números nos quais .
No item b) vamos supor que
E
E devemos determinar o período de tempo para que a depreciação total seja igual ao valor inicial
No item c) vamos determinar o mínimo absoluto de em
E no item d) vamos esboçar os gráficos de e no mesmo sistema de coordenadas e verificar o resultado da parte a).
Então vamos devagarinho, letra por letra, para resolver essas questão.. certinho?
Bora lá!! 😉
Passo 2
Na letra a) a questão quer que mostremos que os números críticos de ocorrem nos números nos quais
Bom... Os números críticos são os valores de tais que
Para encontrá-los, basta derivarmos a função e igualarmos a zero.
Para derivarmos, precisamos usar a regra do produto e o teorema fundamental do cálculo, daí:
Igualando a zero
Passo 3
Na letra b) temos as seguintes funções:
E
Com isso, queremos o período de tempo para que a depreciação total
seja igual ao valor inicial .
Assim, para , temos que a integral será
E substituindo os limites de integração, ficamos com:
Pelo enunciado, temos que
Daí
Simplificando , teremos:
E fazendo o mmc
Podemos resolver essa equação de segundo grau em sua forma fatorada com:
Assim, concluímos que
Passo 4
Agora que sabemos quais são as funções e , podemos calcular
E integrando, ficamos com:
E substituindo os limites de integração:
Que nos dará:
Para encontrar o valor mínimo absoluto, basta derivarmos e igualarmos a zero, daí
Igualando a zero
Sabemos que , então, aplicando o método do intervalo fechado, precisamos calcular
Ent��o, o valor de mínimo absoluto é
Passo 5
Esboçando os gráficos
Temos que
Temos também que
Então
Que é o número crítico de .
Resposta
(b)
(c) O valor de mínimo absoluto é