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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.1 - Ex. 79

Calcule o limite da sequência

{sqrt(2) , sqrt(2 sqrt(2)) , sqrt(2 sqrt(2 sqrt(2))) , ...}

Passo 1

Beleza, pessoal? Pra gente conseguir calcular o limite dessa sequência, primeiro a gente precisa visualizar ela de um jeito melhor, né mesmo? Que tal trocar esses radicais por expoentes?

{2^((1)/(2)) , (2 . 2^((1)/(2)))^((1)/(2)) , (2 . (2 . 2^((1)/(2)))^((1)/(2)))^((1)/(2)) , ...}

{2^((1)/(2)) , (2^((3)/(2)))^((1)/(2)) , (2^((7)/(4)))^((1)/(2)) , ...}

{2^((1)/(2)) , 2^((3)/(4)) , 2^((7)/(8)) , ...}

Passo 2

Agora que a gente conseguiu deixar a sequência numa forma mais simples, com todas as potências na mesma base 2 , vamos nos concentrar na sequência formada pelos expoentes:

{(1)/(2) , (3)/(4) , (7)/(8) , ...}

Veja que o denominador é sempre uma potência de 2 , e que o numerador tem sempre uma unidade a menos do que o denominador. Então podemos tentar escrever uma fórmula pro termo geral dessa sequência de expoentes:

a_n = (2^n - 1)/(2^n)

Agora a gente calcula o limite dessa sequência:

underset(n -> oo)(lim) a_n = underset(n -> oo)(l i m) (2^n - 1)/(2^n) = underset(n -> oo)(l i m) 1 - (1)/(2^n) = 1 - 0 = 1

Passo 3

Show! A gente calculou no passo anterior que o expoente tende a 1 , então, voltando à sequência original, o limite vai ser:

2^(underset(n -> oo)(lim) a_n) = 2^1 = 2

Resposta

2

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