Use um gráfico da sequência para decidir se ela é convergente ou divergente. Se a sequência for convergente, conjecture o valor do limite a partir do gráfico e então demonstre sua conjectura.

a_n = raiz( (3 + 2 * n^2) / (8 * n^2 + n) )

Passo 1

Fala Aí! Tudo certinho? Nessa questão precisamos decidir se a sequência é convergente ou divergente. Para isso, vamos precisar:

  1. Calcular os 5 primeiros termos da sequência.
  2. Traçar o gráfico da sequência.
  3. Verificar se a sequência tem um limite.

Vamos lá então?!

Passo 2

Primeiramente devemos descobrir quando vale os 5   primeiros termos da sequência. Para descobrirmos isso, basta substituirmos n por 1 ,   2 ,   3 ,   4 ,   5 . Isso é bem tranquilo de fazer, não é mesmo? Sendo assim, teremos:

Para n = 1  

a 1 = 3 + 2 ( 1 ) 2 8 1 2 + 1 = 5 9 ≈ 0.745

Para n = 2  

a 2 = 3 + 2 ( 2 ) 2 8 2 2 + 2 = 11 36 ≈ 0.553

Para n = 3  

a 3 = 3 + 2 ( 3 ) 2 8 3 2 + 3 = 21 99 ≈ 0.460

Para n = 4  

a 4 = 3 + 2 ( 4 ) 2 8 4 2 + 4 = 35 132 ≈ 0.515

Para n = 5  

a 5 = 3 + 2 ( 5 ) 2 8 5 2 + 5 = 57 205 ≈ 0.527

Show?!

Passo 3

Agora vamos traçar o gráfico dessa sequência:

Ela com certeza é uma sequência convergente, pois depois de um tempo ela tende a um mesmo valor. E que valor será esse? Pelo gráfico, parece convergir pra 1 2 , será que é isso mesmo?

Passo 4

Agora vamos calcular o limite da sequência pra confirmar nossa hipótese, tá ok?

lim n → ∞ ⁡ a n = l i m n → ∞   3 + 2 n 2 8 n 2 + n

Dividindo o numerador e o denominador pelo termo de maior grau n 2 , temos:

lim n → ∞ ⁡ a n = l i m n → ∞   3 n 2 + 2 8 + 1 n

Fizemos essa divisão pela maior potência pra zerar termos e acabar com a indeterminação. Assim,

l i m n → ∞   3 n 2 + 2 8 + 1 n = 0 + 2 8 + 0 = 1 4 = 1 2

Realmente, nossa hipótese estava certa!

Resposta

Sequência convergente

lim n → ∞ ⁡ a n = 1 2

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