Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.1 - Ex. 69
Para quais valores de a sequência é convergente?
Passo 1
E aí, galerinha? Tudo joia?
Bom, pessoal. A gente tem que buscar valores de que fazem essa sequência ser convergente.
Pra isso, vamos primeiro lembrar da sequência com razão geométrica:
Que diverge pra . Além disso, a sequência diverge sempre. Se multiplicarmos duas sequências que divergem, a sequência resultante também vai divergir. Ou seja, pra , a sequência com certeza vai divergir, então já vamos eliminar essa hipótese.
Nossa estratégia aqui é testar valores de que ainda não sabemos se converge ou diverge que pode ser ou quando ou quando .
Agora vamos calcular o limite da sequência para os valores de que ainda nos restaram, beleza?
Lembrando que a sequência só vai convergir para valores onde exista, portanto precisaremos fazer o cálculo de limites para cada caso.
Passo 2
Testando se há convergência para:
Calculando o limite para essa hipótese:
Ou seja, esse limite não existe.
Achamos então que pra , a sequência diverge.
Passo 3
Testando se há convergência para:
Reescrevendo o limite com no denominador para termos uma indeterminação do tipo e assim conseguirmos aplicar a Regra de L’Hôpital:
Usando L’Hôpital, lembrando que :
Vale lembrar que L’Hôpital vale para indeterminações do tipo e .
Agora podemos de fato realizar o cálculo do limite. Lembra que aqui estamos considerando , então quanto mais cresce, menor fica , então:
Nesse caso temos um limite para a sequêcia quando . Então a sequência converge pra , certo?
Resposta
A sequência converge para valores de .