Responde Aí
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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 3.4 - Ex. 1a

Calcule os limites abaixo, usando as propriedades de limite.

a   lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ e x + e y cos ⁡ x + s e n y

Passo 1

E aí, pessoal!! Quem vem pra mais um exercício com o Responde Aí? Vamo lá :D

Pra começarmos esse exercício, não vamos nos assustar com o fato de ela ter duas variáveis. A ideia é a mesma se comparado ao limite de uma função de uma variável só.

Tendo x ,   y tendendo ao ponto dado, vamos verificar se a função se torna indefinida nesse mesmo ponto. Caso isso aconteça, precisamos manipular a função f x ,   y de tal modo que o limite passe a existir. Mas de início, podemos apenas substituir as coordenadas do ponto na nossa função e verificar o seu resultado.

Passo 2

Então, se substituirmos o ponto 0 ,   0 no nosso limite, teremos:

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ e x + e y cos ⁡ x + s e n y = e 0 + e 0 cos ⁡ 0 + s e n 0

Logo:

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ e x + e y cos ⁡ x + s e n y = 2 1 = 2

Como foi possível fazer a substituição de forma direta, esse é o resultado do limite.

Resposta

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ e x + e y cos ⁡ x + s e n y = 2

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Usando a definição de limite, mostrar que:underset((x , y) - ( 1 , - 1 ))(lim) (3 x - 2 y) = 5
Calcule os limites abaixo, usando as propriedades de limite. blim x , y , z → 0 ,- 1 ,0 ⁡ y 3 + x z 2 x 2 + y 2 + z 2
Determine se underset((x , y) - (x_0 , y_0))(lim) f (x , y) existe nos seguintes casos:(d) f (x , y) = (x y)/(y - 2 x) , (x_0 , y_0) = (1 , 2)
Determine se underset((x , y) - (x_0 , y_0))(lim) f (x , y) existe nos seguintes casos:(b) f (x , y) = (x^2 + y)/(x^2 + y^2) , (x_0 , y_0) = (0 , 0)