Responde Aí
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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 3.4 - Ex. 1b

Calcule os limites abaixo, usando as propriedades de limite.

b   lim x ,  y ,  z → 0 ,   - 1 ,   0 ⁡ y 3 + x z 2 x 2 + y 2 + z 2

Passo 1

E aí, pessoal!! Quem vem pra mais um exercício com o Responde Aí? Vamo lá :D

Lembrando de como é resolvido o limite de uma função de uma ou duas variáveis, se ela tiver três variáveis o procedimento é o mesmo. Então, nada de se assustar hehe.

Tendo x ,   y ,   z tendendo ao ponto dado, vamos verificar se a função se torna indefinida nesse mesmo ponto. Caso isso aconteça, precisamos manipular a função f x ,   y ,   z de tal modo que o limite passe a existir. Mas de início, podemos apenas substituir as coordenadas do ponto na nossa função e verificar o seu resultado.

Passo 2

Então, se substituirmos o ponto 0 ,   - 1 ,   0 no nosso limite, teremos:

lim x ,  y ,  z → 0 ,   - 1 ,   0 ⁡ y 3 + x z 2 x 2 + y 2 + z 2 = - 1 3 + 0 0 2 0 2 + - 1 2 + 0 2

Logo:

lim x ,  y ,  z → 0 ,   - 1 ,   0 ⁡ y 3 + x z 2 x 2 + y 2 + z 2 = - 1 1 = - 1

Como foi possível fazer a substituição de forma direta, esse é o resultado do limite.

Resposta

lim x ,  y ,  z → 0 ,   - 1 ,   0 ⁡ y 3 + x z 2 x 2 + y 2 + z 2 = - 1

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Mostre que lim x , y , z → 0 ,0 ,0 ⁡ f x ,y ,z não existe nos seguintes casos: af x ,y ,z = x 2 + y 2 - z 2 x 2 + y 2 + z 2
Determine se lim x , y → x 0 ,y 0 ⁡ f x ,y existe nos seguintes casos: cf x ,y = x y x 2 + y 2 ,x 0 ,y 0 = 0 ,0
Determine se lim x , y → x 0 ,y 0 ⁡ f x ,y existe nos seguintes casos: af x ,y = x 2 y 2 x 2 + y 2 ,x 0 ,y 0 = 0 ,0
Encontre os limites nos Exercícios 1-12.
Encontre os limites nos Exercícios 1-12.