Enunciado
Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 3.4 - Ex. 2b
Determine se existe nos seguintes casos:
Passo 1
E aí, pessoal!! Quem vem pra mais um exercício com o Responde Aí? Vamo lá :D
Lembrando de como é resolvido o limite de uma função só, se ela tiver duas variáveis o procedimento é o mesmo. Então, nada de se assustar hehe.
Tendo tendendo ao ponto dado, vamos verificar se a função se torna indefinida nesse mesmo ponto. Caso isso aconteça, precisamos manipular a função de tal modo que o limite passe a existir. Mas de início, podemos apenas substituir as coordenadas do ponto na nossa função e verificar o seu resultado.
Passo 2
Então, se substituirmos o ponto no nosso limite, teremos:
Como a substituição direta deu um resultado indeterminado, vamos resolver o limite de outra forma. Vamos fazer dois cálculos diferentes: esse mesmo limite ao longo do eixo (ou seja, quando ) e ao longo do eixo ().
Podemos fazer uma analogia entre esse método e o método do cálculo dos limites laterais quando se tinha apenas uma variável na nossa função. Portanto, caso esses dois limites “laterais” resultem no mesmo valor, o limite dado irá existir.
Passo 3
Logo, para o eixo dos , temos :
Então:
Agora, vamos verificar para o eixo dos , tal que :
Assim:
Visto que os dois limites resultaram em valores diferentes, podemos concluir que o limite principal não existe:
E, portanto, a função não é contínua no ponto e, por isso, não existe neste ponto.