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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 9.4 - Ex. 3a

Calcule a massa da superfície σ dada, com função densidade superficial de massa f ( x , y , z ) dada:

  1. f x , y , z = z e σ é a superfície x 2 + y 2 + z 2 = 1 ,   z ≥ 0 .

Passo 1

A massa é calculada assim:

M = ∬ σ f x , y , z d S

Vamos parametrizar a região:

x = u y = v z = 1 - u 2 -   v 2

Agora já parametrizado, a gente precisa fazer d S = ∂ σ ∂ u × ∂ σ ∂ v . Vamos lá então:

∂ σ ∂ u = 1 ,   0 , - u 1 - u 2 - v 2

∂ σ ∂ v = ( 0,1 , - v 1 - u 2 - v 2 )

∂ σ ∂ u × ∂ σ ∂ v =   i → j → k → 1 0 - u 1 - u 2 - v 2 0 1 - v 1 - u 2 - v 2

= i → 0 - u 1 - u 2 - v 2 1 - v 1 - u 2 - v 2 - j → 1 - u 1 - u 2 - v 2 0 - v 1 - u 2 - v 2 + k → 1 0 0 1

=   i → - u 1 - u 2 - v 2 - j → - v 1 - u 2 - v 2 + k → ( 1 )

=   - u 1 - u 2 - v 2   i → - - v 1 - u 2 - v 2 j → + k →

Passo 2

Agora a norma:

d S = ∂ σ ∂ u × ∂ σ ∂ v = - u 1 - u 2 - v 2 2 + - v 1 - u 2 - v 2 2 + 1 2 = u 2 + v 2 1 - u 2 - v 2 + 1  

= 1 1 - u 2 - v 2

A nossa massa então é dada por:

M = ∬ K   1 - u 2 -   v 2 ⋅ 1 1 - u 2 - v 2 d u d v

M = ∬ K 1   d u d v

Passo 3

Jogando nossa região para coordenadas polares:

x = ρ cos ⁡ θ y = ρ s e n   θ z = 1 - ρ 2

0 ≤ ρ ≤ 1

0 ≤ θ ≤ 2 π

Nossa massa então é:

M = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ρ   d ρ d θ

= ∫ 0 2 π ρ 2 2 0 1 d θ

= ∫ 0 2 π 1 2   d θ

= 1 2 ⋅ 2 π = π

Beleza, essa é a massa! Bora pro centro de massa agora...

Resposta

M = π

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