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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 9.4 - Ex. 3b

Calcule a massa da superfície σ dada, com função densidade superficial de massa f ( x , y , z ) dada:

b )   f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 e σ é a superfície z 2 = x 2 + y 2 ,   1 ≤ z ≤ 2 .

Passo 1

A massa é calculada assim:

M = ∬ σ f x , y , z d S

Vamos parametrizar a região:

x = u y = v z = u 2 +   v 2

Agora já parametrizado, a gente precisa fazer d S = ∂ σ ∂ u × ∂ σ ∂ v . Vamos lá então:

∂ σ ∂ u = 1 ,   0 , u u 2 + v 2

∂ σ ∂ v = ( 0,1 , v u 2 + v 2 )

∂ σ ∂ u × ∂ σ ∂ v =   i → j → k → 1 0 u u 2 + v 2 0 1 v u 2 + v 2

= i → 0 u u 2 + v 2 1 v u 2 + v 2 - j → 1 u u 2 + v 2 0 v u 2 + v 2 + k → 1 0 0 1

=   i → - u u 2 + v 2 - j → v u 2 + v 2 + k → ( 1 )

=   - u u 2 + v 2   i → - - v u 2 + v 2 j → + k →

Passo 2

Agora a norma:

d S = ∂ σ ∂ u × ∂ σ ∂ v = - u u 2 + v 2 2 + - v u 2 + v 2 2 + 1 2 = u 2 + v 2 u 2 + v 2 + 1  

= 1 + 1 = √ 2  

A nossa massa então é dada por:

M = ∬ K 2   u 2 + v 2 + u 2 + v 2   d u d v

M = ∬ K 2 2 u 2 + 2 v 2   d u d v

M = ∬ K 2   u 2 + v 2 d u d v

Passo 3

Jogando nossa região para coordenadas polares:

x = ρ cos ⁡ θ y = ρ s e n   θ z = x 2 + y 2 = ρ 2 = ρ

Ou seja, u 2 + v 2 = ρ 2 (já que u = x   e   v = y )

1 ≤ ρ ≤ 2

0 ≤ θ ≤ 2 π

Nossa massa então é:

M = ∫ 0 2 π ∫ 1 2 2   ρ 2   ρ d ρ d θ

M = 2 ∫ 0 2 π ρ 3 3 1 2 d θ

M = 2   ∫ 0 2 π 8 3 - 1 3 d θ

M = 2 2 π 7 3

M = 28 π 3

E prontinho! Essa é a massa😉

Resposta

M = 28 π 3

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Encontre a área da superfície.O helicoide (ou uma rampa espiral) com a equação vetorial r u , v = u cos ⁡ v i + u sen ⁡ v j + v k , 0 ≤ u ≤ 1 , 0 ≤ v ≤ π .
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Encontre a área da superfície.A parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = b 2 que está dentro do cilindro x 2 + y 2 = a 2 , onde 0ab .
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Seja H o hemisfério x 2 + y 2 + z 2 = 50 , z ≥ 0 , e suponhoa que f seja uma função contínua com f 3 ,4 ,5 = 7 , f 3 ,- 4 ,5 = 8 , f - 3 ,4 ,5 = 9 e f - 3 ,- 4 ,5 = 12 . Dividindo H em quatro retalhos