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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 9.3 - Ex. 17

Estabeleça uma fórmula para o cálculo da área da superfície x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 , onde a > 0 ,   b > b ,   c > 0 são constantes dadas

Passo 1

A área de qualquer superfície pode ser calculada sabendo a definição por tras dela. Assim tome que

á r e a = ∬ K ∂ σ ∂ u ∧ ∂ σ ∂ u d u d v  

Onde o processo para se chegar na fórmula do nosso problema é parametrizar nossa superfície, calcular suas derivadas direcionais e por fim, tirar a norma. Sempre será isso. Sempre...

Mão a obra

Passo 2

Primeiro vamos definir uma parametrização para nossa superfície. Por se tratar de um elipsoide, podemos utilizar coordenadas esféricas para descreve-lo. Sendo assim tome

x = a cos ⁡ θ s e n   ϕ

y = b   s e n   θ   s e n   ϕ

z = c cos ⁡ ϕ

Onde teremos σ θ , ϕ = a cos ⁡ θ s e n   ϕ , b   s e n   θ   s e n   ϕ ,   c cos ⁡ ϕ

Com nossos limites sempre sempre sendo θ ∈ 0,2 π e ϕ ∈ [ 0 , π ] quando temos a superfície fechada.

Agora partimos para as derivadas direcionais.

∂ σ ∂ θ = ( - a   s e n   θ   s e n   ϕ ,   b cos ⁡ θ   s e n   ϕ ,   0 )

e

∂ σ ∂ ϕ = ( a cos ⁡ θ cos ⁡ ϕ ,   b   s e n   θ cos ⁡ ϕ ,   - c   s e n   ϕ )

A terceira etapa é calcular o produto vetorial delas, assim

∂ σ ∂ θ ∧ ∂ σ ∂ ϕ = i → j → k → - a   s e n   θ   s e n   ϕ b cos ⁡ θ   s e n   ϕ 0 a cos ⁡ θ cos ⁡ ϕ b   s e n   θ cos ⁡ ϕ - c   s e n   ϕ

= ( - b c cos ⁡ θ   s e n 2 ϕ )   i → - ( a c   s e n   θ   s e n 2 ϕ )   j → + - a b   s e n 2 θ   s e n   ϕ cos ⁡ ϕ - a b cos 2 ⁡ θ s e n   ϕ cos ⁡ ϕ k →

Lembrando que cos 2 ⁡ θ + s e n 2 θ = 1 e tirando a norma desse nosso vetor, temos

- b c cos ⁡ θ   s e n 2 ϕ 2 + - a c   s e n   θ   s e n 2 ϕ 2 + - a b   s e n   ϕ cos ⁡ ϕ 2 1 2

e consequentemente

b 2 c 2 cos 2 ⁡ θ   s e n 4 ϕ + a 2 c 2   s e n 2 θ   s e n 4 ϕ + a 2 b 2   s e n 2 ϕ cos 2 ⁡ ϕ 1 2

Podemos colocar s e n 4 ϕ em evidência. Assim

s e n 2   ϕ b 2 c 2 cos 2 ⁡ θ + a 2 c 2   s e n 2 θ + a 2 b 2 cot 2 ⁡ ϕ 1 2

Assim temos como integral

A = ∫ 0 2 π ∫ 0 π s e n 2 ϕ b 2 c 2 cos 2 ⁡ θ + a 2 c 2   s e n 2 θ + a 2 b 2 cot 2 ⁡ ϕ   d ϕ   d θ

Se tivéssemos lidando com uma simples esfera, teríamos a = b = c = 1 e cairíamos em

A = 2 π ∫ 0 p i s e n   ϕ d ϕ = 4 π

Assim verificamos que nossa fórmula para o elipsoide está correta.

Resposta

A = ∫ 0 2 π ∫ 0 π s e n 2 ϕ b 2 c 2 cos 2 ⁡ θ + a 2 c 2   s e n 2 θ + a 2 b 2 cot 2 ⁡ ϕ   d ϕ   d θ

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