Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.6 - Ex. 47
Encontre a área da superfície.
Parte do paraboloide que está no cilindro .
Passo 1
Fala Pessoal, se uma superfície tem uma equação da forma , onde e se tem derivadas parciais contínuas, temos que:
Bom, então nós precisamos primeiro achar as derivadas parciais e e depois só substituir na fórmula, beleza?
Próximo passo é mudar as coordenadas, o enunciado nos dá uma parte de um parabolóide que está no cilindro . Então para facilitar os cálculos iremos usar as coordenadas polares.
Está vendo aquele ?? Como estamos usando coordenadas polares podemos dizer que :
Passo 2
Então vamos juntos fazer as derivadas parciais:
Dado que
Portanto,
Passo 3
Antes de resolver a integral, vamos passar para coordenadas polares!
A região é uma circunferência ! Lembrando que :
onde :
=Pontos do centro da circunferência
r= raio
Quando a equação tem o formato: , quer dizer que os pontos do centro da circunferência são (0,0), logo nosso raio é 4.
Assim, podemos escrever a integral dupla:
Vamos começar pela ordem correta que será a primeira integral:
Para resolver essa integral em Vamos usar o método da substituição!Seja:
Os limites de integração vão mudar também. Para isso, precisamos substituir os limites de integração antigo na nossa substituição:
Para 0:
Para 4:
Substituindo na integral :
Vamos colocar o expoente em forma de raiz e colocar a fração em evidência:
Passando a fração para fora e resolvendo a raiz:
Logo :
Substituindo na integral:
⬇
Passo 4
Agora vamos resolver a última integral:
Como tudo que está dentro da integral é constante , podemos reescrevê-la sendo :
Logo:
Resposta
A área da superfície é: