Enunciado

Calcule pelo menos dez somas parciais da série. Faça o gráfico de ambas as sequencias de termos e de somas parciais na mesma tela. Parece que a série é convergente ou divergente? Se for convergente, calcule a soma. Se for divergente, explique o por quê.

∑ n = 1 ∞ tan ⁡ n

Passo 1

E aí, galerinha! Tudo certo?

Aqui vamos começar calculando as 10 primeiras somas parciais da sequência:

∑ n = 1 ∞ tan ⁡ n

No formato s n = s n - 1 + a n com n = 1 até 10 .

Depois mostraremos o gráfico tanto de a n (termos da sequência) quanto de s n (termos da série).

Através desses 10 valores e do comportamento do gráfico podemos dizer se a série parece convergir ou não, ou seja, se ela se aproxima de algum valor específico conforme seus termos crescem.

Vamos passo a passo!

Passo 2

Vamos começar calculando as somas parciais.

s n = s n - 1 + a n

Para n = 1 , temos:

s 1 = a 1 = tan ⁡ 1 = 1,55741

Para n = 2 :

s 2 = a 1 + a 2 = 1,55741 + tan ⁡ 2 = - 0,62763

Para n = 3 :

s 3 = s 2 + a 3 = - 0,62763 + tan ⁡ 3 = - 0,77018

Para n = 4 :

s 4 = s 3 + a 4 = - 0,77018 + tan ⁡ 4 = 0,38764

Para n = 5 :

s 5 = s 4 + a 5 = 0,38764 + tan ⁡ 5 = - 2,99287

Para n = 6 :

s 6 = s 5 + a 6 = - 2,99287 + tan ⁡ 6 = - 3,28388

Quase lá! Para n = 7 :

s 7 = s 6 + a 7 = - 3,28388 + tan ⁡ 7 = - 2,41243

Para n = 8 :

s 8 = s 7 + a 8 = - 2,41243 + tan ⁡ 8 = - 9,21214

Para n = 9 :

s 9 = s 8 + a 9 = - 9,21214 + tan ⁡ 9 = - 9,66446

Por fim, para n = 1 0 :

s 10 = s 9 + a 10 = - 9,66446 + tan ⁡ 10 = - 9,01610

UFA! Uma parte já foi!

Passo 3

Agora temos que plotar no mesmo gráfico a sequencia de termos da série e também essa sequencia das somas parciais que acabamos de achar.

Vamos só organizar numa tabelinha os resultados que vamos plotar:

Plotando esses pontos, temos:

E a partir dessa figura podemos ver que a série ∑ n = 1 ∞ tan ⁡ n

Diverge, já que seus termos não se aproximam de zero.

Resposta

A série é divergente pois os termos não se aproximam de zero.

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