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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 2.4 - Ex. 7

  1. Calcule int_0^(pi) G (x) d x onde G (x) = int_(pi)^x s e n t^2 d t . (Sugestão: integre por partes.)

Passo 1

Como o enunciado nos deu a dica de integrar por parte, vamos fazer isso. Quando queremos integrar por partes entre dois pontos definidos, temos que fazer o seguinte:

int_a^b u d v = [u v]_a^b - int_a^b v d u

Passo 2

Nossa expressão é a seguinte:

int_0^(pi) G (x) d x

Comparando com:

int_a^b u d v

Temos o seguinte:

u = G (x) e d v = d x

Logo,

d u = G ' ( x ) e v = x

Para acharmos o G ' ( x ) , vamos usar o Teorema Fundamental do Calculo. Vem comigo!

G (x) = int_(pi)^x s e n t^2 d t

Assim,

G^' (x) = s e n^2 (x^2) d x

Usando integração por partes:

int_0^(pi) u d v = [u v]_0^(pi) - int_0^(pi) v d u

Trocando pelas variáveis que encontramos:

int_0^(pi) G (x) d x = [x int_(pi)^x s e n t^2 d t]_0^(pi) - int_0^(pi) x s e n^2 (x^2) d x

Passo 3

Agora vamos resolver esse expressão feiosa. A primeira é a seguinte:

I_1 = [x int_(pi)^x s e n t^2 d t]_0^(pi)

Aplicando entre os ponto pi e 0:

I_1 = (x int_(pi)^(pi) s e n t^2 d t) - (0 xx int_(pi)^0 s e n t^2 d t)

No primeiro termo estamos integrando entre os mesmos ponto. Assim, nossa integral é 0. Logo,

I_1 = 0 - 0 = 0

Agora vamos ver a segunda parcela da integral:

I_2 = int_0^(pi) x s e n (x^2) d x

Para resolver, vamos fazer a seguinte substituição:

u = x^2

Derivando,

d u = 2 x d x

Como fizemos uma substituição, temos que mudar o limite de integração!

x = 0 -> u = 0

x = pi -> u = pi^2

Logo,

I_2 = int_0^(pi^2) (1)/(2) s e n (u) d u

Não esquece: int s e n (x) d x = - c o s ( x ) + c

Integrando:

I_2 = (1)/(2) (- cos (u)) |_0^(pi^2)

Fazendo as contas:

I_2 = (1)/(2) [- cos (pi^2) - (- cos (0))]

Isto é,

I_2 = - (1)/(2) ( cos (pi^2) - 1 )

Agora é só correr pro abraço:

int_0^(pi) G (x) d x = I_2 - I_2

Então,

int_0^(pi) G (x) d x = (1)/(2) (cos (pi^2) - 1)

Resposta

int_0^(pi) G (x) d x = (1)/(2) (cos (pi^2) - 1)

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