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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.4 - Ex. 28

Calcule ∫ C F → ⋅ d r → , onde F → x , y =   x 2 + y ,   3 x - y 2 e C é a fronteira positivamente orientada de uma região D que tem área 6.

Passo 1

E aí, galera! Tranquilos?

A questão quer p cálculo da integral de linha:

∫ C F → ⋅ d r →

Onde:

F → x , y =   x 2 + y ,   3 x - y 2

C é a fronteira positivamente orientada de uma região D que tem área 6.

Como estamos lidando com a integral de linha de uma região fechada e orientada positivamente, podemos aplicar o Teorema de Green nesse cálculo:

∫ C F → ⋅ d r → = ∬ D d Q d x - d P d y d A

Então aqui nesse nosso caso as componentes da função são:

P = x 2 + y

Q = 3 x - y 2

Então, vamos calcular as derivadas parciais dessas funções, substituir na integral dupla e calculá-la, como já estamos acostumados a fazer.

Vamos lá!

Passo 2

Do enunciado tiramos que

P = x 2 + y

e

Q = 3 x - y 2

Logo calculando d Q d x e d P d y temos:

  • Derivando em y , tratando x como constante:

    • d P d y = d x 2 + y d y = 1

  • Derivando em x , tratando y como constante:

d Q d x = d 3 x - y 2 d x = 3

Assim, substituímos no integrando:

d Q d x - d P d y = 3 - 1 = 2

Desta forma temos que

∫ C F → ⋅ d r → =   ∬ D d Q d x - d P d y d A = ∬ D 2 d A

Passo 3

Agora é resolvermos nossa integral. Tirando a constante para fora:

∬ D 2 d A =

Acontece que a integral de d A é justamente a área da região que estamos analisando. O enunciado já nos disse que a área da região é 6, então:

2 ⋅ ∬ D d A = 2 ⋅ A ( D )

Substituindo o valor da área, temos:

A D = 2 ⋅ 6 = 12

Resposta

∫ C F → ⋅ d r → = 12

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