Calcule a integral de linha por dois métodos: (a) diretamente e (b) utilizando o Teorema de Green.
consiste nos segmentos de reta de a e de a e na parábola de a
Passo 1
- Vamos escrever como união de três partes, , onde as duas primeiras são as retas e a terceira é a parábola.
- Pelo Teorema de Green temos que
Onde
Para que a orientação seja positiva, precisamos da reta de a
E a integral é
Outra reta sai de e vai até que tem parametrização
E a integral é
Por fim temos a parábola que vai de até , fechando a curva
comvariandodeaté
Então temos que
Passo 2
Resposta
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8. ∮_C f → ⋅ d r → , onde f → (x^2 + 4xy, 2x + 2 + y^2) e C é a elipse x^2 + 4 + y^2 = 16 , no sentido anti-horário
Nos exercícios 1 a 11, calcular as integrais curvilíneas dadas usand o teorema de Green.4. ∮ C - 2 x 2 y d x + 8 - ln y + 2 d y , ao longo do paralelogramo de vértices (0,0), (2,0), (3,2) e (0,2), n
7. ∮_C f(→) ⋅ d(→r) onde f → = (y, 0) e C é o triângulo de vértices A(0,1), B(3,1) e C(2,2), no sentido horário.
16. Dado o campo vetorial f = (y / (x^2 + y^2), -x / (x^2 + y^2)) , mostrar que ∮C f(→) ⋅ d(→r) = -2π para toda curva fechada simples C, suave por partes, orientada no sentido anti-horário que circund
14. Determinar a área entre as elipses:(a) x^2 + 9y^2 - 2x - 18y + 1 = 0 e x^2 - 2x + 4y^2 - 8y + 4 = 0.