Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.4 - Ex. 4
Calcule a integral de linha por dois métodos: (a) diretamente e (b) utilizando o Teorema de Green.
consiste nos segmentos de reta de a e de a e na parábola de a
Passo 1
- Vamos escrever como união de três partes, , onde as duas primeiras são as retas e a terceira é a parábola.
- Pelo Teorema de Green temos que
Onde
Para que a orientação seja positiva, precisamos da reta de a
E a integral é
Outra reta sai de e vai até que tem parametrização
E a integral é
Por fim temos a parábola que vai de até , fechando a curva
comvariandodeaté
Então temos que
Passo 2
Resposta
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8. ∮ C f → ⋅ d r → , onde f → = ( x 2 + 4 x y , 2 x 2 + 2 x + y 2 ) e C é a elipse x 2 + 4 y 2 = 16 , no sentido anti-horário
Nos exercícios 1 a 11, calcular as integrais curvilíneas dadas usand o teorema de Green.4. ∮ C - 2 x 2 y d x + 8 - ln y + 2 d y , ao longo do paralelogramo de vértices (0,0), (2,0), (3,2) e (0,2), n
7. ∮ C f → ⋅ d r → , onde f → = ( y , 0 ) e C é o triângulo de vértices A(0,1), B(3,1) e C(2,2), no sentido horário.
16. Dado o campo vetorial f → = y x 2 + y 2 , - x x 2 + y 2 , mostrar que ∮ C f → ⋅ d r → = - 2 π para toda curva fechada simples C, suave por partes, orientada no sentido anti-horário que circunda a
14. Determinar a área entre as elipses:(a) x 2 + 9 y 2 - 2 x - 18 y + 1 = 0 e x 2 - 2 x + 4 y 2 - 8 y + 4 = 0 .