Expresse a integral dupla em termos de uma integral unidimensional com relação a r . Em seguida, use a calculadora para avaliar a integral correta com quatro casas dimensionais.

∬ D x y 1 + x 2 + y 2 d A

Onde D é a porção do disco x 2 + y 2 ≤ 1 que fica no primeiro quadrante.

Passo 1

Como a nossa região é um quarto de um disco de raio 1, o qual está localizado no primeiro quadrante, em coordenadas polares, podemos escrevê-la da seguinte forma:

0 ≤ r ≤ 1

0 ≤ θ ≤ π 2

Portanto, a nossa integral transforma-se em:

∫ 0 1 ∫ 0 π 2 r 3 sen ⁡ θ cos ⁡ θ 1 + r 2 d θ d r

Passo 2

Inicialmente, vamos resolver a primeira parte da integral. Desta forma, temos:

∫ 0 1 ∫ 0 π 2 r 3 sen ⁡ θ cos ⁡ θ 1 + r 2 d θ d r = ∫ 0 1 r 3 1 + r 2 ⋅ cos 2 ⁡ θ 2 0 π 2 d r

∫ 0 1 r 3 1 + r 2 2 d r

Para resolvermos esta integral, precisamos da ajuda de softwares ou calculadoras que o resolvam. Sendo assim, temos:

Aproximando o valor da integral para 4 casas decimais, temos:

∬ D x y 1 + x 2 + y 2 d A ≅ 0,1609

Resposta

∬ D x y 1 + x 2 + y 2 d A ≅ 0,1609

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