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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.4 - Ex. 20

Se uma circunferência C de raio 1 rola ao longo do interior da circunferência x 2 + y 2 = 16 , um ponto fixo P de C descreve uma curva chamada epicicloide, com equações paramétricas x = 5 cos ⁡ t - cos ⁡ 5 t ,   y = 5 sen ⁡ t - sen ⁡ 5 t . Faça o gráfico da epicicloide e use (5) para calcular a área da região que ela envolve.

Passo 1

Fala, pessoal! Tranquilo?

A questão pede o gráfico da epicicloide com equações paramétricas:

x = 5 cos ⁡ t - cos ⁡ 5 t ,   y = 5 sen ⁡ t - sen ⁡ 5 t

Para isso podemos usar softwares gráficos como o GeoGebra.

E pede a área da região dentro dessa figura usando a equação 5 do nosso livro, que é:

A = ∮ K x   d y = - ∮ K y   d x = 1 2 ∮ K x   d y - y   d x

Aqui usaremos:

A = ∮ K x   d y

Então, como o próprio enunciado nos dá a parametrização do epicicloide, vamos encontrar os limites de integração da integral acima e calculá-la normalmente.

Vamos chamar a curva descrita no enunciado de K , traçando o gráfico temos

Vamos resolver!

Passo 2

Colocando as equações paramétricas numa calculadora gráfica:

x = 5 cos ⁡ t - cos ⁡ 5 t ,   y = 5 sen ⁡ t - sen ⁡ 5 t

Temos:

Então essa é nossa epicicloide. Está aí o gráfico que a questão pediu!

Passo 3

Para calcular a área, podemos usar:

A = ∮ K x   d y

Como enunciado traz, o traçado da epicicloide é baseado em uma circunferência rolando ao longo do interior de outra, portando podemos usar como limites do nosso parâmetro t os limites de uma circunferência completa:

0 ≤ t ≤ 2 π

Esses são os limites de integração da nossa integral. Substituindo:

  x = 5 cos ⁡ t - cos ⁡ 5 t

d y = d d t 5 sen ⁡ t - sen ⁡ 5 t d t

E os limites da integral, ficamos com:

∮ 0 2 π 5 cos ⁡ t - cos ⁡ 5 t d d t 5 sen ⁡ t - sen ⁡ 5 t d t

Derivando y para termos d y :

= ∮ 0 2 π 5 cos ⁡ t - cos ⁡ 5 t 5 cos ⁡ t - 5 cos ⁡ 5 t d t

Fazendo a multiplicação dos termos:

∮ 0 2 π 25 cos 2 ⁡ t - 25 cos ⁡ t cos ⁡ 5 t - 5 cos ⁡ t cos ⁡ 5 t + 5 cos 2 ⁡ 5 t d t

Substituindo:

cos 2 ⁡ t = 1 + cos ⁡ ( 2 t ) 2

E rearranjando os termos:

∮ 0 2 π 25 ⋅ 1 + cos ⁡ 2 t 2 - 30 cos ⁡ t cos ⁡ 5 t + 5 ⋅ 1 + cos ⁡ 10 t 2 d t

Passo 4

A única integral que vai dar problema agora é no termo central, então calculando por partes temos

∫ cos ⁡ t cos ⁡ 5 t d t

Usando

f = cos ⁡ 5 t → f ' = - 5 sen ⁡ 5 t

g ' = cos ⁡ t → g = sen ⁡ t

É só substituirmos:

∫ cos ⁡ t cos ⁡ 5 t d t = sen ⁡ t cos ⁡ 5 t + 5 ∫ sen ⁡ t sen ⁡ 5 t d t

Aplicando a integração por partes na segunda integral:

f = sen ⁡ 5 t → f ' = 5 cos ⁡ 5 t

g ' = sen ⁡ t → g = - cos ⁡ t

Substituindo:

∫ sen ⁡ t sen ⁡ 5 t d t = - cos ⁡ t sen ⁡ 5 t + 5 ∫ cos ⁡ t cos ⁡ 5 t d t

Voltando para nossa soma:

∫ cos ⁡ t cos ⁡ 5 t d t = sen ⁡ t cos ⁡ 5 t - 5 cos ⁡ t sen ⁡ 5 t + 25 ∫ cos ⁡ t cos ⁡ 5 t d t

Jogando a última integral da soma pro lado esquerdo da equação com o sinal trocado:

- 24 ∫ cos ⁡ t cos ⁡ 5 t d t = sen ⁡ t cos ⁡ 5 t - 5 cos ⁡ t sen ⁡ 5 t

Dividindo toda a equação por - 24 :

∫ cos ⁡ t cos ⁡ 5 t d t = sen ⁡ t cos ⁡ 5 t - 5 cos ⁡ t sen ⁡ 5 t - 24

Passo 5

Então nós pré calculamos a integral do termo do meio, e agora é só integrar o primeiro e o terceiro termo da soma abaixo, substituindo o valor da integral que encontramos no passo acima:

∮ 0 2 π 25 1 + cos ⁡ 2 t 2 - 30 cos ⁡ t cos ⁡ 5 t + 5 1 + cos ⁡ 10 t 2 d t

= 25 t 2 + sen ⁡ 2 t 4 + 30 24 sen ⁡ t cos ⁡ 5 t - 5 cos ⁡ t sen ⁡ 5 t + 5 t 2 + sen ⁡ 10 t 20 0 2 π

Todos os termos que tem sin ⁡ n t = 0 quando t = 0 ou t = 2 π , então nos sobra

A = 30 t 2 0 2 π = 30 π

Resposta

A = 30 π

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Verifique a relação do exercício anterior supondo B o quadrado de vértices - 1 , - 1 , 1 , - 1 , 1,1 e - 1,1 ; γ a fronteira de B orientada no sentido anti-horário.
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Seja B o triângulo de vértices 0,0 , 1,0 e 1,1 ; γ a fronteira de B orientada no sentido anti-horário. Verifique que ∫ γ P d x + Q d y = ∬ B ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d xd y Onde P e Q são supostas de classe
2 ) Calcule a área da região limitada pela curva x = t - sen t, y = 1 - cos t, 0≤ t ≤ 2π, e pelo eixo 0x
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