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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.4 - Ex. 21

  1. Se C é o segmento de reta ligando o ponto ( x 1 , y 1 ) ao ponto ( x 2 , y 2 ) , mostre que

    2. ∫ C x   d y - y   d x = x 1 y 2 - x 2 y 1

  2. Se os vértices de um polígono, na ordem anti-horária, são x 1 , y 1 ,   x 2 , y 2 , … ,     ( x n , y n ) , mostre que a área do polígono é

    3. A = 1 2 x 1 y 2 - x 2 y 1 + x 2 y 3 - x 3 y 2 + … + x n - 1 y n - x n y n - 1 + x n y 1 - x 1 y n

  3. Determine a área do pentágono com vértices 0,0 , 2,1 , 1,3 , ( 0,2 ) e ( - 1,1 )

Passo 1

Fala, meus queridos! Tudo certo?

A questão tem 3 partes:

A parte a) quer que a gente mostre que:

∫ C x   d y - y   d x = x 1 y 2 - x 2 y 1

Onde C é o segmento de reta que liga os pontos ( x 1 , y 1 ) e ( x 2 , y 2 ) . Para isso vamos usar a parametrização da reta:

r t = x 1 + t x 2 - x 1 , y 1 + t y 2 - y 1 ,   0 ≤ t ≤ 1

Para calcularmos:

∫ C x   d y - y   d x = ∫ C F ⋅ d r

E o resultado será o que estamos tentando mostrar.

A parte b) pede para mostrarmos que a área de um polígono de vértices:

x 1 , y 1 ,   x 2 , y 2 , … ,     ( x n , y n )

Tem área:

A = 1 2 x 1 y 2 - x 2 y 1 + x 2 y 3 - x 3 y 2 + … + x n - 1 y n - x n y n - 1 + x n y 1 - x 1 y n

Podemos fazer isso usando uma das fórmulas em 5 para área que o nosso livro traz:

A = 1 2 ∮ C x   d y - y   d x

Onde a região C vai ser compostas de várias retas que ligam os pontos do polígono. Então nossa área será a soma de várias integrais dessa, cada uma sobre um segmento de reta.

E a última parte, a parte c), pede a área do polígono de vértices:

0,0 , 2,1 , 1,3 , ( 0,2 ) e ( - 1,1 )

Então é só substituirmos no resultado da letra b).

Vamos por partes!

Passo 2

  1. Se queremos uma reta de ( x 1 , y 1 ) ao ponto ( x 2 , y 2 ) , podemos parametrizar da seguinte forma:

    2. r t = x 1 + t x 2 - x 1 , y 1 + t y 2 - y 1 ,   0 ≤ t ≤ 1

    Derivando esses parâmetros:

    d r = r ' t = x 2 - x 1 , y 2 - y 1

    E temos que a integral de linha é dada por

    ∫ C F ⋅ d r

    Onde F = ( - y , x ) . Substituindo, ficamos com:

    = ∫ 0 1 - y 1 - t y 2 - y 1 , x 1 + t x 2 - x 1 ⋅ x 2 - x 1 , y 2 - y 1 d t

    Fazendo o produto escalar:

    = ∫ 0 1 - y 1 x 2 - x 1 - t y 2 - y 1 x 2 - x 1 + x 1 y 2 - y 1 + t x 2 - x 1 y 2 - y 1 d t

    Simplificando os termos:

    = ∫ 0 1 - y 1 x 2 - x 1 + x 1 y 2 - y 1 d t

    Resolvendo a integral acima e aplicando os limites de integração:

    = - y 1 x 2 + y 1 x 1 + x 1 y 2 - x 1 y 1

    Simplificando novamente:

    ∫ C x   d y - y   d x = x 1 y 2 - x 2 y 1

    Passo 3

  2. Se temos um polígono de vértices x 1 , y 1 ,   x 2 , y 2 , … ,     ( x n , y n ) , podemos determinar a área por (5) da forma:

    3. A = ∮ C x   d y = - ∮ C y   d x = 1 2 ∮ C x   d y - y   d x

    Se usarmos a última integral e dividirmos a curva em várias retas, temos uma fórmula para a resolução da integral de cada reta

    A = 1 2 ∮ C x   d y - y   d x

    Vamos dizer que r m é a parametrização de reta C m como fizemos no item a do ponto ( x m , y m ) até ( x m + 1 , y m + 1 ) e se m = n é a reta que liga o último ponto de volta no primeiro então

    Dividindo nosso polígono C em vários segmentos de reta C 1 , C 2 ,..., C n - 1 até o enésimo segmento C n :

    A = 1 2 ∫ C 1 x   d y - y   d x + ∫ C 2 x   d y - y   d x + … + ∫ C n - 1 x   d y - y   d x + ∫ C n x   d y - y   d x

    Aplicando os resultados da letra a)

    ∫ C x   d y - y   d x = x 1 y 2 - x 2 y 1

    Temos finalmente:

    A = 1 2 ( x 1 y 2 - x 2 y 1 ) + ( x 2 y 3 - x 3 y 2 ) + … + x n - 1 y n - x n y n - 1 + x n y 1 - x 1 y n

    Passo 4

  3. Para calcular a área do polígono, vamos usar o que encontramos no item (b):

0,0 , 2,1 , 1,3 , ( 0,2 ) e ( - 1,1 )

Substituindo, vamos quebrar nossa equação em duas linhas para caber aqui no nosso espaço:

A = 1 2 0 1 - 2 0 + 2 3 - 1 1 +

+ 1 2 1 2 - 0 3 + 0 1 - - 1 2 + - 1 0 - 0 1

Ficamos com:

A = 1 2 0 + 5 + 2 + 2 + 0 = 1 2 9

A = 9 2

Resposta

a) e b) demonstradas.

(c)

A = 9 2

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