Calcule a integral de linha por dois métodos: (a) diretamente e (b) utilizando o Teorema de Green. ∮ C x - y d x + ( x + y ) d y C é o círculo com centro na origem e raio 2 Passo 1 Podemos parametrizar C por r t = 2 cos t , 2 sen t , 0 ≤ t ≤ 2 π Derivando a parametrização r ' t = ( - 2 sen t , 2 cos t ) E podemos calcular a integral ∮ C x - y d x + ( x + y ) d y = ∫ 0 2 π 2 cos t - 2 sen t , 2 cos t + 2 sen t ⋅ ( - 2 sen t , 2 cos t ) d t = ∫ 0 2 π - 2 2 sen t cos t + 2 2 sen 2 t + 2 2 cos 2 t + 2 2 sen t cos t d t = 4 ∫ 0 2 π sen 2 t + cos 2 t d t = 4 ∫ 0 2 π d t = 8 π Passo 2 Pelo Teorema de Green temos que ∮ C x - y d x + ( x + y ) d y = ∬ D ∂ ∂ x x + y - ∂ ∂ y x - y d A = ∬ D 1 - ( - 1 ) d A = ∬ D 2 d A Sabemos que ∬ D d A = A ( D ) então = 2 ∬ D d A = 2 A D A área da circunferência é dada por π r 2 = 2 π 2 2 = 8 π Resposta 8 π MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAVer Outros Exercícios desse livroExercícios de Livros RelacionadosCalcule a integral de linha por dois métodos: a) diretamente e b) utilizando o Teorema de Green.∮C (y dx - x dy) C é o círculo com centro na origem e raio 1.Calcule a integral de linha por dois métodos: a) diretamente e b) utilizando o Teorema de Green.∮C (x * y^2 * dx + x^3 * dy) C é o retângulo com vértices (0,0) , 2,0 , (2,3) e 0,3 .Calcule a integral de linha por dois métodos: a) diretamente e b) utilizando o Teorema de Green.∮C (x * y^2 dx + x^3 dy) C é o retângulo com vértices 0,0 , 2,0 , (2,3) e 0,3 .15. Dado o campo vetorial f → = (y / (x^2 + y^2), x / (x^2 + y^2)) , mostrar que ∮_C f(→) ⋅ dr(→) = 0 para toda curva fechada simples C, suave por partes, que circunda a origem.12. Calcular a área da elipse x = 6 c o s theta , y = 2 s e n theta .Ver TambémVer Livro Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James StewartVer tudo sobre Integrais de LinhaLista de exercícios de Teorema de GreenVer exercício 16.4 - 10Ver exercício 16.4 - 3