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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.4 - Ex. 1

Calcule a integral de linha por dois métodos: (a) diretamente e (b) utilizando o Teorema de Green.

∮ C x - y d x + ( x + y ) d y

C é o círculo com centro na origem e raio 2

Passo 1

  1. Podemos parametrizar C por

    2. r t = 2 cos ⁡ t , 2 sen ⁡ t ,   0 ≤ t ≤ 2 π

    Derivando a parametrização

    r ' t = ( - 2 sen ⁡ t , 2 cos ⁡ t )

    E podemos calcular a integral

    ∮ C x - y d x + ( x + y ) d y = ∫ 0 2 π 2 cos ⁡ t - 2 sen ⁡ t , 2 cos ⁡ t + 2 sen ⁡ t ⋅ ( - 2 sen ⁡ t , 2 cos ⁡ t ) d t

    = ∫ 0 2 π - 2 2 sen ⁡ t cos ⁡ t + 2 2 sen 2 ⁡ t + 2 2 cos 2 ⁡ t + 2 2 sen ⁡ t cos ⁡ t   d t

    = 4 ∫ 0 2 π sen 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t   d t = 4 ∫ 0 2 π d t = 8 π

    Passo 2

  2. Pelo Teorema de Green temos que

∮ C x - y d x + ( x + y ) d y = ∬ D ∂ ∂ x x + y - ∂ ∂ y x - y d A

= ∬ D 1 - ( - 1 )   d A = ∬ D 2   d A

Sabemos que ∬ D d A = A ( D ) então

= 2 ∬ D d A = 2   A D

A área da circunferência é dada por π r 2

= 2 π 2 2 = 8 π

Resposta

8 π

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Calcule a integral de linha por dois métodos: a) diretamente e b) utilizando o Teorema de Green. ∮ C y d x - x d y C é o círculo com centro na origem e raio 1.
Calcule a integral de linha por dois métodos: a) diretamente e b) utilizando o Teorema de Green. ∮ C x y 2 d x + x 3 d y C é o retângulo com vértices 0,0 , 2,0 , 2,3 e 0,3 .
Calcule a integral de linha por dois métodos: a) diretamente e b) utilizando o Teorema de Green. ∮ C x y 2 d x + x 3 d y C é o retângulo com vértices 0,0 , 2,0 , 2,3 e 0,3 .
15. Dado o campo vetorial f → = y x 2 + y 2 , x x 2 + y 2 , mostrar que ∮ C f → ⋅ d r → = 0 para toda curva fechada simples C, suave por partes, que circunda a origem.
12. Calcular a área da elipse x = 6 c o s θ ,y = 2 s e n θ .