Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.4 - Ex. 16

Verifique o Teorema de Green, usando um sistema de computação algébrica para calcular tanto a integral de linha como a integral dupla.

é a elipse

Passo 1

Como ele nos pede para usar o teorema de Green, vamos dar uma relembrada. Esse Teorema nos diz que se tivermos uma curva plana simples, fechada e continua delimitada pela região . É valido o seguinte:

Repare que isso só é valido caso existam as derivadas de primeira ordem para e .

Passo 2

A curva que ele nos deu é uma elipse, assim, ela atende as condições do Teorema. Pra começar, vamos parametrizar a elipse. Olha só:

Logo,

Assim, podemos parametrizar como:

Então nossa integral fica:

Assim,

Trocando pela nossa parametrização:

Arrumando as coisas:

Usando um sistema de computação algébrica

Passo 3

Agora vamos ver se calcularmos usando o lado direito do Teorema, isto é:

Como :

Além disso,

Então a integral fica:

Usando um computador:

Então, verificamos o Teorema de Green.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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