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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.1 - Ex. 23

Calcule int_C (x^2)/(y^(4 // 3)) d s , onde C é a curva x = t^2 , y = t^3 , para 1 <= t <= 2

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Para calcularmos a integral int_c (x^2)/(y^(4 // 3)) d s sobre uma curva C , dada pelo seguimento de reta x = t^2 e y = t^3 c o m 1 <= t <= 2 devemos lembrar que, de acordo com a teoria da página 363 , a integral de linha é calculada como int_C f ( x , y ) |(d vec r)/(d t)| d t , onde f ( x , y ) = (x^2)/(y^(4 // 3)) é uma função contínua em C e |(d vec r)/(d t)| a velocidade instantânea sobre a curva C .

Passo 2

Precisamos agora encontrar o vetor posição que localiza cada ponto sobre a curva C em relação a origem do sistema de coordenadas que é dado por vec r = x vec i + y vec j .Sendo x = t^2 e y = t^3 , podemos escrever vec r = t^2 vec i + t^3 vec j , com 1 <= t <= 2 .

Passo 3

Como f ( x , y ) = (x^2)/(y^(4 // 3)) = ((t^2)^2)/((t^3)^(4 // 3)) = (t^4)/(t^4) = 1 e (d vec r)/(d t) = 2 t overset(‾)(i) + 3 t^2 vec j , temos que o módulo da velocidade é:

|(d vec r)/(d t)| = sqrt(( 2 t )^2 + (3 t^2)^2) = sqrt(4 t^2 + 9 t^4) = sqrt(t^2 (4 + 9 t^2)) = t sqrt((4 + 9 t^2))

Podemos agora voltar a forma da integral dada por int_C f ( x , y ) |(d vec r)/(d t)| d t Fazendo as substituições de f ( x , y ) e |(d vec r)/(d t)| calculados anteriormente, teremos então que:

int_1^2 1 (t sqrt(4 + 9 t^2)) d t = int_1^2 t sqrt(4 + 9 t^2) d t

Passo 4

A integral int_1^2 t sqrt(4 + 9 t^2) d t é resolvida por substituição, como segue:Se considerarmos u = 4 + 9 t^2 e d u = 18 t d t podemos escrever que:

int_1^2 t sqrt(4 + 9 t^2) d t = int (1)/(18) u^(1 // 2) d u = (2)/(54) u^(3 // 2) = (1)/(27) u^(3 // 2)

Logo, o resultado da integral é:

int_1^2 t sqrt(4 + 9 t^2) d t = [(1)/(27) (4 + 9 t^2)^(3 // 2)]_1^2 = (1)/(27) (40^(3 // 2) - 13^(3 // 2))

Resposta

int_1^2 t sqrt(4 + 9 t^2) d t = (1)/(27) (40^(3 // 2) - 13^(3 // 2))

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada. ∫ C x 2 y 3 - xd y C é o arco da curva y = x de 1 ,1 a ( 4 ,2 )
4. Calcule int_C F * d vec r Onded. F (x , y) = (x^2 + y^2 , x^2 - y^2) e C é a curva de equação y = 1 - |1 - x| de (0,0) a(2,0)
Determine o trabalho realizado pelo campo de força F → ao mover um objeto de P a Q . F → x , y = e - y i → - x e - y j → ;P 0 , 1 ,Q ( 2,0 )
Encontre a integral de linha de f ( x , y ) = y / x ao longo da curva r ( t ) = t 3 i + t 3 j , 1 / 2 ≤ t ≤ 1 .