Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.7 - Ex. 48

Encontre os volumes dos sólidos nos Exercícios 43-48.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Nosso objetivo neste exercício é encontrar o volume do sólido com equação z = 3 1 - x 2 - y 2 .Sabemos que o círculo que descreve a base tem raio r = c o s ⁡ θ .

Passo 2

O volume para o sólido em coordenadas cilíndricas é dado pela integral tripla:

V = ∭ D   f ( r , θ , z ) d V

Vamos primeiro integrar em relação a z , seguido de θ e por fim em relação a r . Sabemos também que r e θ são projeções no plano xy e z é a coordenada vertical cartesiana.

Passo 3

Agora podemos definir os limitantes. Sabemos que x 2 + y 2 = r 2 e r representa o raio de um círculo. O valor de r varia em:

0 ≤ r ≤ c o s ⁡ θ

Temos que z possui o intervalo:

0 ≤ z ≤ 3 1 - r 2

Por fim, o ângulo θ é dado por:

0 ≤ θ ≤ π 2

Passo 4

Agora podemos escrever a integral que representa o volume da região:

V   = ∫ 0 π / 2     ∫ 0 c o s ⁡ θ     ∫ 0 3 1 - r 2     d z r d r d θ   = ∫ 0 π / 2     ∫ 0 c o s ⁡ θ     3 r 1 - r 2 d r d θ   = ∫ 0 π / 2     - 1 1 - r 2 3 / 2 0 c o s ⁡ θ d θ   = ∫ 0 π / 2     - 1 1 - c o s 2 ⁡ θ 3 / 2 + 1 d θ   = ∫ 0 π / 2     1 - s e n 3 ⁡ θ d θ

Resolvendo a integral:

V   = θ + s e n 2 ⁡ θ c o s ⁡ θ 3 0 π / 2 - 2 3 ∫ 0 π / 2     s e n ⁡ θ d θ   = π 2 + 2 3 [ c o s ⁡ θ ] 0 π / 2   = π 2 - 2 3   = 3 π - 4 6

Resposta

Portanto, o resultado correto deste exercício é um volume igual a 3 π - 4 6 (unidades de volume).

Exercícios de Livros Relacionados

int_0^(pi) int_0^((theta)/(pi)) int_(- sqrt(4 - r^2))^(3 sqrt(4 - r^2)) z d z r d r d theta
int_0^1 int_0^(sqrt(z)) int_0^(2 pi) ( r^2 cos^2 (theta) + z^2 ) r d theta d r d z
int_0^(2 pi) int_0^3 int_((r^2)/(3))^(sqrt(18 - r^2)) d z r d r d theta
int_0^(2 pi) int_0^1 int_(- (1)/(2))^((1)/(2)) (r^2 s e n^2 (theta) + z^2) d z r d r d theta
Converta a integral: ∫ - 1 1 ∫ 0 1 - y 2 ∫ 0 x x 2 + y 2 d z d x d y Em uma integral equivalente em coordenada cilíndricas e calcule o resultado