4. Calcule

∫ C F ⋅ d   r →

Onde

d. F(x, y) = (x^2 + y^2, x^2 - y^2) e C é a curva de equação y = 1 - |1 - x| de 0,0 a2,0

Passo 1

OIII , estamos na seção agora de integrais de linha em campo vetorial. Pra mim é mais fácil que campo escalar, porque não precisamos tirar modulo das nossas parametrizações. Então temos um passo a menos. Quando temos uma integral de linha podemos fazer uma parametrização para deixá-la mais simples

∫ C F ⋅ d   r →

Logo se dissermos que

  r = γ t

d r = γ ' t d t

Assim, nossa integral parametrizada fica no seguinte formato

∫ C F ⋅ d   r → =   ∫ t 0 t 1 F γ ( t ) ⋅ γ ' t d t

Bora cair dentro !!!! \o/

Passo 2

No nosso caso temos que C é a curva de equação   y = 1 - 1 - x de   0,0 a   2,0 . Função com modulo é sempre estranha. Vamos olhar para o gráfico dessa curva

Parametrizar isso não será tão trivial. O mais prático será quebrar o modulo e repartir o intervalo da nossa integração em 2. Entao nossa parametrização sera

γ 1 t = t ,   t

γ 1 ' t = 1 ,   1

t ∈ 0,1

Agora nossa segunda parametrização

γ 2 t = t ,   2 - t

γ 2 ' t = 1 ,   - 1

t ∈ 1 , 2

Show!!! Já conseguimos boa parte do processo, agora só falta parametrizar nossa função

F   x , y = x 2 + y 2 ,   x 2 - y 2

F   γ 1 t = t 2 + t 2 ,   t 2 - t 2

F   γ 1 t = 2 t 2 ,   0

F   γ 2 t = t 2 + 2 - t 2 ,   t 2 - 2 - t 2

F   γ 2 t = 2 t 2 + 4 - 4 t ,   - 4 + 4 t

Passo 3

Bora integrar!

∫ C F ⋅ d   r → =   ∫ t 0 t 1 F γ ( t ) ⋅ γ ' t d t

= ∫ 0 1 2 t 2 ,   0 ⋅ 1,1 d t + ∫ 1 2 2 t 2 + 4 - 4 t ,   - 4 + 4 t ⋅ 1 ,   - 1 d t

= ∫ 0 1 2 t 2 d t + ∫ 1 2 ( 2 t 2 + 4 - 4 t + 4 - 4 t ) d t

= 2 3 t 3 0 1 + 2 3 t 3 + 8 t - 8 2 t 2 1 2

= 2 3 8 - 1 + 1 + 8 2 - 1 - 4 4 - 1

= 16 3 + 8 - 12

= 4 3

Terminamos por aqui. Pode comemorar! \o/

Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

∫ C F ⋅ d   r → = 4 3

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