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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.2 - Ex. 5

Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.

∫ C x 2 y 3 - x   d y

C é o arco da curva y = x de 1 ,   1 a ( 4 ,   2 )

Passo 1

E aii, galera, tudo certo?

Nessa questão precisamos calcular uma integral de linha:

∫ C x 2 y 3 - x   d y

Essa integral podemos calcular usando a fórmula:

∫ C f x , y   d y = ∫ a b f r → t ∙ y ' t d t

Onde r → t = x t , y t é parametrização da curva C com a ≤ t ≤ b .

Então vamos resolver o problema assim: primeiro parametrizamos a curva C , daí calculamos o y ' t , e por último aplicamos a fórmula pra calcular a integral.

Passo 2

Bom, nossa curva é definida por y = x , que podemos reescrever como:

x = y 2

Então, podemos parametrizar com:

y = t

x = t 2

Ou seja:

r → t = t 2 , t

A curva vai de 1,1 até 4,2 , então:

1 ≤ y ≤ 2

Mas como y = t :

1 ≤ t ≤ 2

E calculando y ' :

y = t ⇒ y ' t = 1

Passo 3

Vamos calcular nossa integral de linha:

∫ C f x , y   d y = ∫ a b f r → t ∙ y ' t d t

As informações que precisamos são:

f x , y = x 2 y 3 - x

r → t = t 2 , t

1 ≤ t ≤ 2

y ' t = 1

Então:

= ∫ 1 2 f t 2 , t ∙ 1 d t

= ∫ 1 2 t 2 2 ∙ t 3 - t 2 d t

Resolvendo as contas:

= ∫ 1 2 t 7 - t d t

Passo 4

Agora só falta calcular essa integral!

Como estamos com 1 ≤ t ≤ 2 , podemos reescrever t = t , e calcular a integral:

= ∫ 1 2 t 7 - t d t

= t 8 8 - t 2 2 1 2

Então:

= 2 8 8 - 2 2 2 - 1 8 - 1 2 =

= 32 - 2 - 1 8 + 1 2 =

Fazendo as contas:

= 30 + - 1 + 4 8

= 30 + 3 8

E achamos o valor da integral:

∫ C x 2 y 3 - x d y = 243 8

Resposta

243 8

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