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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.Exercícios Adicionais e Avançados - Ex. 5

Dois paraboloides Encontre o volume da região delimitada

superiormente pelo paraboloide z = 3 – x2 – y2 e inferiormente

pelo paraboloide z = 2x2 + 2y2.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Iremos determinar o volume da região acima do paraboloide z = 3 - x 2 - y 2 e abaixo do paraboloide z = 2 x 2 + 2 y 2 .

Passo 2

A circunferência de interceptação entre as curvas é dada por:

3 - x 2 - y 2 = 2 x 2 + 2 y 2

x 2 + y 2 = 1

Sendo assim, o problema pode ser resolvido usando coordenadas cilíndricas:Considere as identidades:

x = r c o s ⁡ ( θ ) y = r s e n ⁡ ( θ ) x 2 + y 2 = r 2

Passo 3

Agora iremos expressar o volume através de uma integral tripla usando as propriedades de simetria:

V = 4 ∫ 0 1   ∫ 0 1 - x 2   ∫ 2 x 2 + 2 x 2 3 - x 2 - y 2   d z d y d x

Que pode ser reescrita como: V = 4 ∫ 0 π / 2   ∫ 0 1   ∫ 2 r 2 3 - r 2   d z r d r d θ

Passo 4

Integrando em z:

V = 4 ∫ 0 π / 2     ∫ 0 1     r 3 - r 2 - 2 r 2 d r d θ V = 4 ∫ 0 π / 2     ∫ 0 1     3 r - r 3 r d r d θ

Integrando em r :

V = 4 ∫ 0 π / 2     3 r 2 2 - r 4 4 0 1 d θ V = 4 ∫ 0 π / 2     3 r 2 2 - r 4 4 0 1 d θ V = 3 ∫ 0 π / 2     d θ

E finalmente em θ :

V = 3 [ θ ] 0 π / 2 V = 3 π 2

Resposta

V = 3 π 2

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