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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.7 - Ex. 7f

Calcule F^' (x) onde F (x) é igual a

sqrt(x) + (3)/(x^3 + 2)

Passo 1

Oi, galerinha! Nessa ques tão temos que

F (x) = sqrt(x) + (3)/(x^3 + 2)

Para calcular essa derivada vamos usar algumas regras! De primeira dá pra perceber que vamos usar a da soma e a regra da divisão.

Usando o da soma:

F^' (x) = (sqrt(x) + (3)/(x^3 + 2))^' = (sqrt(x))^' + ((3)/(x^3 + 2))^'

Agora vamos calcular cada derivada individualmente e somar no final!

Passo 2

A primeira derivada é simples, usamos a regra do polinômio:

(x^n)^' = n x^(n - 1)

Assim:

(sqrt(x))^' = (x^((1)/(2)))^' = (1)/(2) x^((1)/(2) - 1) = (1)/(2) x^((1 - 2)/(2)) = (1)/(2) x^((- 1)/(2)) = (1)/(2 x^((1)/(2))) = (1)/(2 sqrt(x))

Passo 3

Agora vamos calculae a parte,

((3)/(x^3 + 2))^'

Para isso, vamos usar a regra do quociente,

((f (x))/(g (x)))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g ' (x))/([g (x)]^2)

Temos então que:

f (x) = 3

e

g (x) = x^3 + 2

Vamos agora só montar na fórmula:

((3)/(x^3 + 2))^' = ((3) ' * (x^2 + 2) - (3) * (x^2 + 2) ')/((x^3 + 2)^2)

Vamos agora calcular f ' ( x ) , usando a regra da função constante:

(c)^' = 0

Aplicando:

f ' ( x ) = (3)^' = 0

Com g ' ( x ) vamos usar a regra da função constante e do polinômio:

g ' ( x ) = (x^3 + 2)^' = 3 x^(3 - 1) + 0 = 3 x^2

Passo 4

Agora é só substituir de volta na expressão e pronto:

F^' (x) = (sqrt(x))^' + ((3)/(x^3 + 2))^'

F^' (x) = (1)/(2 sqrt(x)) + (0 * (x^3 + 2) - (3) * 3 x^2)/((x^3 + 2)^2)

Ajeitando,

F^' (x) = (1)/(2 sqrt(x)) + (- 9 x^2)/((x^3 + 2)^2)

Resposta

F^' (x) = (1)/(2 sqrt(x)) + (- 9 x^2)/((x^3 + 2)^2)

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