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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 6.5 - Ex. 1b

  1. Calcule as seguintes integrais, ao longo das curvas C , orientadas positivamente.

b.

∮ C 3 x 2 + y d x + 4 y 2 d y

C é a fronteira do triangulo de vértices. 0,0 , 1,0 , 0,2

Passo 1

OIii, nesse exercício vamos usar truques para resolver os nossos problemas. Na seção 6.3 tivemos que exaustivamente calcular as integrais de linha, agora temos o teorema de Green que diz

∮ C F x , y ⋅ d r = ∫ ∫ R ∇ × F d A

Outra maneira de ver isso é

∮ C F 1 d x + F 2 d y = ∫ ∫ R ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d A  

OU seja, o trabalho do nosso campo ao percorrer a borda é igual ao fluxo que atravessa a área dentro dessa borda. O pratico do teorema de Green é que não precisamos mais procurar por parametrizações. É só calcular áreas. Então bora cair dentro!!! \o/

Passo 2

No nosso caso temos o seguinte campo

F = 3 x 2 + y , 4 y 2

Vamos então usar o teorema de Green.

∮ C F 1 d x + F 2 d y = ∫ ∫ R ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d A  

Vamos calcular o rotacional dessa função

= ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

= 0 - 1

- 1

Passo 3

Bora integrar!!!

∫ ∫ R ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d A

∫ ∫ R - 1 d A

- ∫ ∫ R d A

OU seja, temos que calcular a área desse triangulo. de vértices. 0,0 , 1,0 , 0,2

Temos que calcular essa área. Podemos usar as formular de áreas que sabemos desde o ensino fundamental.

A = b ⋅ h 2

A = 2 ⋅ 1 2

A = 1

Logo como queremos

- ∫ ∫ R d A

Nosso resultado é

=   - 1

Terminamos por aqui. Pode comemorar! \o/

Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

∮ C 3 x 2 + y d x + 4 y 2 d y = - 1

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Use o Use o teorema de Green para calcular ∫ C F → ⋅ d r → . (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.)
Calcule ∫ C F → ⋅ d r → , onde F → x , y =x 2 + y .3 x - y 2 e C é a fronteira positivamente orientada de uma região D que tem área 6.
Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
Use o Use o teorema de Green para calcular ∫ C F → ⋅ d r → . (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.)
Calcule a integral de linha por dois métodos: (a) diretamente e (b) utilizando o Teorema de Green. ∮ C . y d x - x d y C é uma circunferência com centro na origem e r a i o = 4 .