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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.4 - Ex. 10

Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.

Passo 1

Para resolvermos esse exercício, vamos precisar encontrar quais são as funções que delimitam y ou x e integrar para esse intervalo e mudanças de variável.

Passo 2

Temos que a região D é fechada e delimitada pelos dois círculos, porém é mais fácil calcularmos se usarmos uma transformação de variável. Vamos chamar x = ρ ⋅ cos ⁡ θ   e y = ρ ⋅ sin ⁡ θ . Assim, temos que ρ irá variar da seguinte forma:

2 ≤ ρ ≤ 3

E θ será de uma volta completa, logo 0 ≤ θ ≤ 2 ⋅ π . Vamos precisar do Jacobiano também. Como já mostrado anteriormente no livro, temos que o Jacobiano para coordenadas polares é J = ρ ⋅ d ρ ⋅ d θ . Substituindo então na integral e usando o teorema de Green, teremos que

∫ C F → ⋅ d r → = ∫ ∫ D ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y ⋅ d A =

= ∫ ∫ D ∂ ∂ x x 3 + e y 2 - ∂ ∂ y 1 - y 3 ⋅ d A = ∫ ∫ D 3 ⋅ x 2 + 3 ⋅ y 2 ⋅ d A =

= ∫ ∫ D 3 ⋅ ρ ⋅ cos ⁡ θ 2 + 3 ⋅ ρ ⋅ sin ⁡ θ 2 ⋅ ρ ⋅ d ρ ⋅ d θ = ∫ 0 2 ⋅ π ∫ 2 3 3 ⋅ ρ 2 ⋅ ρ ⋅ d ρ ⋅ d θ =

= ∫ 0 2 ⋅ π d θ ⋅ ∫ 2 3 3 ⋅ ρ 3 ⋅ d ρ = θ 0 2 ⋅ π ⋅ 3 ⋅ ρ 4 4 2 3 = 2 ⋅ π ⋅ 3 ⋅ 3 4 4 - 2 4 4 = 195 2 ⋅ π

Resposta

∫ C ( 1 - y 3 ) ⋅ d x + ( x 3 + e y 2 ) ⋅ d y = 195 2 ⋅ π

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