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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.6 - Ex. 1b

Calcule.

int_(- 1)^1 [sen 3 t vec i + (1)/(1 + t^2) vec j + vec k] d t

Passo 1

Calculamos então a integral, coordenada por coordenada

int_(- 1)^1 [sen 3 t vec i + (1)/(1 + t^2) vec j + vec k] d t = [- (cos 3 t)/(3) vec i + arctg t vec j + t vec k]_(- 1)^1

E então substituímos os limites de integração, como em uma integral de um escalar, mas nos vetores

= (- (cos 3)/(3) , arctg 1 , 1) - (- (cos (- 3))/(3) , arctg (- 1) , - 1)

Como cosseno é uma função par cos x = cos (- x) , então a primeira coordenada se cancela. Já a arctg x é uma função ímpar, ou seja, arctg x = - arctg (- x) , logo

= (0,2 arctg 1 , 2)

Como arctg 1 = (pi)/(4)

= (0 , (pi)/(2) , 2) = (pi)/(2) vec j + 2 vec k

Resposta

(pi)/(2) vec j + 2 vec k

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Sejam vec F (t) = t vec i + vec j + e^t vec k e vec G (t) = vec i + vec j + vec k . Calculeint_0^1 vec F (t) * vec G (t) d t
Seja F → t uma força, dependendo do tempo t , que atua sobre uma partícula entre os instantes t 1 e t 2 . Supondo F → integrável em t 1 , t 2 , o vetor I → = ∫ t 1 t 2 F → td t denomina-se impulso de
2. Sejam vec F (t) = t vec i + vec j + e^t vec k e vec G (t) = vec i + vec j + vec k . Calculea)int_0^1 vec F (t) ^^ vec G (t) d t
Seja vec F : [a , b] - R^n contínua e seja vec G (t) = int_0^t vec F (s) d s , t in [a , b] . Prove que, para todo t in [a , b] ,(d vec G)/(d t) (t) = vec F (t)