Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.6 - Ex. 2a

2. Sejam vec F (t) = t vec i + vec j + e^t vec k e vec G (t) = vec i + vec j + vec k . Calcule

a)

int_0^1 vec F (t) ^^ vec G (t) d t

Passo 1

Primeiramente, vamos primeiro calcular vec F (t) ^^ vec G (t) .

vec F (t) xx vec G (t) = |[[vec i,vec j,vec k],[t,1,e^t],[1,1,1]]|

Logo,

vec F (t) xx vec G (t) = (1 - e^t) vec i + (e^t - t) vec j + (t - 1) vec k

Passo 2

Agora que já achamos vec F (t) ^^ vec G (t) , vamos integrar. Mas antes, deixa eu te lembrar uma coisa!

int vec F ( t ) d t = (int F_x (t) d t , int F_y (t) d t , int F_z (t) d t)

Voltando para o nosso exercício:

int_0^1 vec F (t) xx vec G (t) d t = (int_0^1 (1 - e^t) d t , int_0^1 (e^t - t) d t , int_0^1 (t - 1) d t)

Não esquece: int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + c quando n != - 1

Não esquece: int e^x d x = e^x + c

Passo 3

Integrando, temos:

int_0^1 vec F (t) xx vec G (t) d t = [(t - e^t) vec i + (e^t - (t^(1 + 1))/(1 + 1)) vec j + ((t^(1 + 1))/(1 + 1) - t) vec k]_0^1

Assim,

int_0^1 vec F (t) xx vec G (t) d t = [(t - e^t) vec i + (e^t - (t^2)/(2)) vec j + ((t^2)/(2) - t) vec k]_0^1

Aplicando entre os pontos 0 e 1 :

int_0^1 vec F (t) xx vec G (t) d t = (1 - e , e - (1)/(2) , (1)/(2) - 1) - (- 1,1 , 0)

Fazendo as contas:

int_0^1 vec F (t) xx vec G (t) d t = (2 - e , e - (3)/(2) , - (1)/(2))

Isto é,

int_0^1 vec F (t) xx vec G (t) d t = (2 - e) vec i + (e - (3)/(2)) vec j - (1)/(2) vec k

Resposta

int_0^1 vec F (t) xx vec G (t) d t = (2 - e) vec i + (e - (3)/(2)) vec j - (1)/(2) vec k

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre os comprimentos das curvas nos Exercícios 13-19. x = y 2 / 3 ; 1 ≤ y ≤ 8
Encontre os comprimentos das curvas nos Exercícios 13-19. x = 5 cos ⁡ t - cos ⁡ 5 tey = 5 s e nt - s e n5 t ; 0 ≤ t ≤ π 2
Encontre os comprimentos das curvas nos Exercícios 13-19. y = x 1 / 2 - 1 3 x 3 / 2 ; 1 ≤ x ≤ 4
Encontre os comprimentos das curvas nos Exercícios 13-19. y = 5 12 x 6 / 5 - 5 8 x 4 / 5 ; 1 ≤ x ≤ 32
Determine o comprimento do laço delimitado x = t 2 ,y = t 3 3 - t mostrado aqui. O laço começa em t = - 3 e termina em t = 3 .