Calcule:

∫ 0 + ∞ e - t sen ⁡ t d t

Passo 1

Como estamos calculando uma integral imprópria, a primeira coisa a se fazer é aplicar o limite

∫ 0 + ∞ e - t sen ⁡ t d t = lim A → + ∞ ⁡ ∫ 0 A e - t sen ⁡ t d t  

Passo 2

Agora podemos calcular a integral tranquilamente, utilizando a integração por partes

∫ f ⋅ g '   d t = f ⋅ g - ∫ f ' ⋅ g   d t

Neste caso nossas funções são

f = sen ⁡ t g ' = e - t   →   f ' = cos ⁡ t g = - e - t

Então

∫ e - t sen ⁡ t d t = - e - t sen ⁡ t + ∫ e - t cos ⁡ t d t

Para a segunda integral, vamos usar novamente a integração por partes

f = cos ⁡ t g ' = e - t   →   f ' = - sen ⁡ t g = - e - t

∫ e - t cos ⁡ t d t = - e - t cos ⁡ t - ∫ e - t sen ⁡ t d t

Substituindo

∫ e - t sen ⁡ t d t = - e - t sen ⁡ t - e - t cos ⁡ t - ∫ e - t sen ⁡ t d t

Somando a integral dos dois lados temos

2 ∫ e - t sen ⁡ t d t = - e - t sen ⁡ t - e - t cos ⁡ t

∫ e - t sen ⁡ t d t = - e - t sen ⁡ t - e - t cos ⁡ t 2

Podemos colocar - e - t em evidência e ficamos com

∫ e - t sen ⁡ t d t = - e - t sen ⁡ t + cos ⁡ t 2

Voltando ao limite

lim A → + ∞ ⁡ ∫ 0 A e - t sen ⁡ t d t   = lim A → + ∞ ⁡ - e - t sen ⁡ t + cos ⁡ t 2 0 A  

= lim A → + ∞ ⁡ - sen ⁡ t + cos ⁡ t 2 e t 0 A  

Passo 3

Substituindo os limites de integração temos

lim A → + ∞ ⁡ - sen ⁡ t + cos ⁡ t 2 e t 0 A   = lim A → + ∞ ⁡ - sen ⁡ A + cos ⁡ A 2 e A + sen ⁡ 0 + cos ⁡ 0 2 e 0  

= lim A → + ∞ ⁡ - sen ⁡ A + cos ⁡ A 2 e A + 1 2  

Utilizando a propriedade do limite para dividir em uma soma de limites temos

= - lim A → + ∞ ⁡ sen ⁡ A + cos ⁡ A 2 e A   + 1 2

Para calcular o limite, podemos agora usar o teorema do confronto. Sabemos que as funções seno e cosseno tem a imagem limitada entre - 1 e 1 , se pegarmos os extremos, podemos então afirmar que - 2 ≤ sen ⁡ A + cos ⁡ A ≤ 2 para qualquer t real, então temos que

- 2 2 e A ≤ sen ⁡ A + cos ⁡ A 2 e A ≤ 2 2 e A

- 1 e A ≤ sen ⁡ A + cos ⁡ A 2 e A ≤ 1 e A

Aplicando o limite

- l i m A → + ∞ 1 e A ≤ lim A → + ∞ ⁡ sen ⁡ A + cos ⁡ A 2 e A   ≤ l i m A → + ∞ 1 e A

E quando A → + ∞ a sua exponencial e A → + ∞ , então

0 ≤ lim A → + ∞ ⁡ sen ⁡ A + cos ⁡ A 2 e A   ≤ 0

E podemos afirmar que

lim A → + ∞ ⁡ sen ⁡ A + cos ⁡ A 2 e A   = 0

Então temos que

- lim A → + ∞ ⁡ sen ⁡ A + cos ⁡ A 2 e A   + 1 2 = 1 2

Resposta

1 2

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