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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 4.1 - Ex. 1p

Calcule:

int_0^(+ oo) e^(- t) sen t d t

Passo 1

Como estamos calculando uma integral imprópria, a primeira coisa a se fazer é aplicar o limite

int_0^(+ oo) e^(- t) sen t d t = underset(A -> + oo)(lim) int_0^A e^(- t) sen t d t

Passo 2

Agora podemos calcular a integral tranquilamente, utilizando a integração por partes

int f * g^' d t = f * g - int f^' * g d t

Neste caso nossas funções são

{[[f = sen t],[g^' = e^(- t)]]) -> (f^' = cos t)/(g = - e^(- t))

Então

int e^(- t) sen t d t = - e^(- t) sen t + int e^(- t) cos t d t

Para a segunda integral, vamos usar novamente a integração por partes

{[[f = cos t],[g^' = e^(- t)]]) -> (f^' = - sen t)/(g = - e^(- t))

int e^(- t) cos t d t = - e^(- t) cos t - int e^(- t) sen t d t

Substituindo

int e^(- t) sen t d t = - e^(- t) sen t - e^(- t) cos t - int e^(- t) sen t d t

Somando a integral dos dois lados temos

2 int e^(- t) sen t d t = - e^(- t) sen t - e^(- t) cos t

int e^(- t) sen t d t = (- e^(- t) sen t - e^(- t) cos t)/(2)

Podemos colocar - e^(- t) em evidência e ficamos com

int e^(- t) sen t d t = - e^(- t) (sen t + cos t)/(2)

Voltando ao limite

underset(A -> + oo)(lim) int_0^A e^(- t) sen t d t = underset(A -> + oo)(lim) [- e^(- t) (sen t + cos t)/(2)]_0^A

= underset(A -> + oo)(lim) [- (sen t + cos t)/(2 e^t)]_0^A

Passo 3

Substituindo os limites de integração temos

underset(A -> + oo)(lim) [- (sen t + cos t)/(2 e^t)]_0^A = underset(A -> + oo)(lim) [- (sen A + cos A)/(2 e^A) + (sen 0 + cos 0)/(2 e^0)]

= underset(A -> + oo)(lim) [- (sen A + cos A)/(2 e^A) + (1)/(2)]

Utilizando a propriedade do limite para dividir em uma soma de limites temos

= - underset(A -> + oo)(lim) (sen A + cos A)/(2 e^A) + (1)/(2)

Para calcular o limite, podemos agora usar o teorema do confronto. Sabemos que as funções seno e cosseno tem a imagem limitada entre - 1 e 1 , se pegarmos os extremos, podemos então afirmar que - 2 <= sen A + cos A <= 2 para qualquer t real, então temos que

- (2)/(2 e^A) <= (sen A + cos A)/(2 e^A) <= (2)/(2 e^A)

- (1)/(e^A) <= (sen A + cos A)/(2 e^A) <= (1)/(e^A)

Aplicando o limite

- underset(A -> + oo)(l i m) (1)/(e^A) <= underset(A -> + oo)(lim) (sen A + cos A)/(2 e^A) <= underset(A -> + oo)(l i m) (1)/(e^A)

E quando A -> + oo a sua exponencial e^A -> + oo , então

0 <= underset(A -> + oo)(lim) (sen A + cos A)/(2 e^A) <= 0

E podemos afirmar que

underset(A -> + oo)(lim) (sen A + cos A)/(2 e^A) = 0

Então temos que

- underset(A -> + oo)(lim) (sen A + cos A)/(2 e^A) + (1)/(2) = (1)/(2)

Resposta

(1)/(2)

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