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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.7 - Ex. 60

Utilize a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar a integral quanto à convergência. Se mais de um método puder ser aplicado, use o de sua preferência.

∫ e e ∞ ln ⁡ ( ln ⁡ x )   d x  

Passo 1

Vamos fazer uma mudança de variável par ficar mais fácil de a gente entender...

Vamos colocar x = e y e aí vamos ter d x = e y d y e com isso y = ln ⁡ x . E aí fica assim:

∫ e ∞ ln ⁡ y   e y d y

Preste atenção nos limites de integração. Se antes era x = e e com y fica y = ln ⁡ e e = .

O infinito continua. Pronto, agora ficou mais simples né?!

Vamos resolver essa pelo método da comparação direta. O método diz que se temos duas funções f ( x ) e g ( x ) , e 0 ≤ f x ≤ g ( x ) , se a maior converge, a menor também converge, e se a menor diverge a maior também diverge.

Vamos escolher funções adequadas para fazer o comparativo então...

Passo 2

Seja f x = ln ⁡ y   e y   (a função que queremos) e g x = ln ⁡ y . Observe que para x > e , temos:

0 < ln ⁡ y < ln ⁡ y e y

Vamos testar a convergência da função menor, a g x :

∫ e ∞ ln ⁡ y   d y = y ln ⁡ y   - y ] ∞ e

Vamos calcular pelo limite:

lim b → ∞ ⁡ y ln ⁡ y   - y ] b e = l i m b → ∞   b ln ⁡ b - b - ( e ln ⁡ e - e ) = ∞ - 0 = ∞

Então... g ( x ) diverge né?! Com isso, temos que a f ( x ) também diverge.

∫ e e ∞ ln ⁡ ( ln ⁡ x )   d x   diverge.

Resposta

∫ e e ∞ ln ⁡ ( ln ⁡ x )   d x   diverge.

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Utilize a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar a integral quanto à convergência. Se mais de um método puder ser aplicado, use o de sua preferência. ∫
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