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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.2 - Ex. 24

Calcule 1C (x – y) dx + (x + y) dy no sentido anti-horário ao

redor do triângulo com vértices (0, 0), (1, 0) e (0, 1).

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Para calcularmos a integral de linha ∫ C   ( x - y ) d x + ( x + y ) d y no sentido anti-horário ao redor do triângulo com vértices ( 0,0 ) , ( 1,0 ) e ( 0,1 ) utilizaremos a descrição teórica da página 372 e 373 do livro.

Passo 2

Precisaremos calcular a integral ao longo de três caminhos diferentes. Para isso, será necessário determinar as variáveis x , y em termos do parâmetro t em C 1 , C 2 e C 3 . Teremos então, que em C 1 , de ( 0,0 ) a ( 1,0 ) : r → = t i → , com 0 ≤ t ≤ 1 .

Passo 3

Em seguida devemos calcular a derivada do vetor posição,

d r → d t = i →

Na sequência você deve encontrar a função vetorial F → parametrizada:

F → = ( x - y ) i → + ( x + y ) j → = t i → + t →

Podemos agora, calcular o produto escalar F → ⋅ d r → d t

F → ⋅ d r → d t = ( t i → + t j ‾ ) ⋅ ( i → ) = t  Em  C 2 ,  de  ( 1,0 )  a  ( 0,1 ) : r → = ( 1 - t ) i → + t j → ,  com  0 ≤ t ≤ 1 .

Passo 4

O próximo passo é calcular a derivada do vetor posição,

d r → d t = - i → + j →

Agora é o momento de encontrar a equação função F ‾ parametrizada:

F → = ( x - y ) i → + ( x + y ) j → = ( 1 - 2 t ) i → + j →

Podemos então calcular o produto escalar F ‾ ⋅ d r ‾ d t

F → ⋅ d r → d t = ( ( 1 - 2 t ) i → + j → ) ⋅ ( - i ‾ + j → ) = - 1 + 2 t + 1 = 2 t  Em  C 3 , de  ( 0,1 )  a  ( 0,0 )  :  r → = ( 1 - t ) j → , com  0 ≤ t ≤ 1 .

Passo 5

Em seguida calcule a derivada do vetor posição,

d r → d t = - j →

Precisamos também encontrar a equação função F → parametrizada:

F → = ( x - y ) i → + ( x + y ) j → = ( t - 1 ) i → + ( 1 - t ) j →

Podemos agora, calcular o produto escalar F ‾ ⋅ d r → d t

F → ⋅ d r → d t = ( ( t - 1 ) i ‾ + ( 1 - t ) j ‾ ) ⋅ ( - j ‾ ) = - 1 + t

Passo 6

Com a finalização do resultado a integral de linha será dada por:

∫ a b   F → ⋅ d r → d t d t = ∫ 0 1   t d t + ∫ 0 1   2 t d t + ∫ 0 1   ( t - 1 ) d t = ∫ 0 1   ( 4 t - 1 ) d t = 2 t 2 - t 0 1 = 2 - 1 = 1

Resposta

Resposta nos passos.

Exercícios de Livros Relacionados

Use uma calculadora para avaliar a integral de linha correta até quatro casas decimais. ∫ C z ln ⁡ ( x + y ) d s, onde C tem equações paramétricas x = 1 + 3 t, y = 2 + t 2, z = t 4,- 1 ≤ t ≤ 1 .
Encontre a integral de linha de f ( x , y , x ) = sqrt(3) // (x^2 + y^2 + z^2) sobre a curva r ( t ) = t i + t j + t k , 1 = t = oo .
Encontre a integral de linha de f ( x , y , z ) = x + y + z sobre o segmento de reta de ( 1,2 , 3 ) a ( 0 , - 1,1 ) .
Integre f ( x , y , z ) = x + y - z 2 sobre o caminho entre ( 0,0 , 0 ) a ( 1,1 , 1 ) (veja a figura a seguir) dado por: C 1 : r ( t ) = t i + t 2 j ,0 ≤ t ≤ 1 C 2 : r ( t ) = i + j + t k ,0 ≤ t ≤ 1