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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.2 - Ex. 25

Calcule 1C F ∙ T ds para o campo vetorial F = x2i – yj ao longo

da curva x = y2 de (4, 2) a (1, –1).

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Para calcularmos a integral de linha ∫ C   ( F → ⋅ T → ) d s para o campo vetorial F → = x 2 i → - y j → ao longo da curva C : x = y 2 de ( 4,2 ) a ( 1 , - 1 ) utilizaremos a descrição teórica da página 372 e 373 .

Passo 2

Inicialmente expressaremos as variáveis x , y em termos do parâmetro t . Teremos então que x = ( 1 - t ) 2 , y = 1 - t , com - 1 ≤ t ≤ 2 .Comecemos escrevendo a equação parametrizada de r → em C . r → = x i → + j → = ( 1 - t ) 2 i → + ( 1 - t ) j → , com - 1 ≤ t ≤ 2 .

Passo 3

Em seguida devemos calcular a derivada do vetor posição,

d r ‾ d t = ( - 2 + 2 t ) i ‾ - j ‾

Precisamos também encontrar a função vetorial F → parametrizada:

F ‾ = x 2 i → - y j → = ( 1 - t ) 4 i → - ( 1 - t ) j →

Podemos agora, calcular o produto escalar F → ⋅ d r → d t

F ‾ ⋅ d r ‾ d t = ( 1 - t ) 4 i ‾ - ( 1 - t ) j ‾ ⋅ ( ( - 2 + 2 t ) i ‾ - j ‾ ) = 2 t 5 - 10 t 4 + 20 t 3 - 20 t 2 + 9 t - 1

Passo 4

A integral de linha será dada pela seguinte equação que nos mostra no fim e o resultado deste exercício. Veja a seguir.

  ∫ a b     F → ⋅ d r → d t d t = ∫ - 1 2     2 t 5 - 10 t 4 + 20 t 3 - 20 t 2 + 9 t - 1 d t = 2 t 6 6 - 10 t 5 5 + 20 t 4 4 - 20 t 3 3 + 9 t 2 2 - t - 1 2 =   = ( 0 ) - 7 + 8 + 9 2 = - 39 2

Resposta

Resposta nos passos.

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 35 e 36, encontre o trabalho realizado por cada campo ao longo dos caminhos de (0, 0, 0) a (1, 1, 1) no Exercício 135. F = 2 x y i + j + x 2 k
Integre F = - y sen ⁡ z i + x sen ⁡ z j + ( x y cos ⁡ z ) k ao redor da circunferência cortada da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 5 pelo plano z = - 1 , no sentido horário quando visto de cima.
Encontre parametrizações para as superfícies nos Exercícios 19-24. (Existem muitas formas de fazer isso, de modo que suas respostas podem não ser as mesmas que estão no final do livro.)26 – Integral d
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