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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.1 - Ex. 15

Integre f ( x , y , z ) = x + y - z 2 sobre o caminho entre ( 0,0 , 0 ) a ( 1,1 , 1 ) (veja a figura a seguir) dado por:

C 1 : r ( t ) = t i + t 2 j ,   0 ≤ t ≤ 1 C 2 : r ( t ) = i + j + t k ,   0 ≤ t ≤ 1

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Para calcularmos a integral de f ( x , y , z ) = x + y - z 2 sobre o caminho C , dada pelos seguimentos de reta que ligam os pontos ( 0,0 , 0 ) e ( 1,1 , 1 ) devemos lembrar o que podemos encontrar na teoria da página 364 . Veja a se seguir.

Passo 2

A integral de linha é calculada pela união dos caminhos C 1 e C 2 de f ( x , y , z ) = x + y - z 2 é dada por ∫ C 1   f ( x , y , z ) d r ‾ d t d t + ∫ C 2   f ( x , y , z ) d r → d t d t , onde f ( x , y , z ) = x + y - z 2 é uma função contínua em C e d r → d t o módulo da velocidade instantânea sobre as curvas C 1 e C 2 .

Passo 3

As parametrizações para C 1 e C 2 estão destacadas no enunciado do problema e são:

C 1 : r ( t ) = t i → + t 2 j → , com 0 ≤ t ≤ 1 Assim, temos nesse caso f ( x , y , z ) = t + t 2 - 0 2 = 2 t , d r → d t = i → + 2 j → e d r → d t = 1 + 4 t 2

C 2 : r → ( t ) = i → + j → + t k → , c o m   0 ≤ t ≤ 1 Que nos dá a seguinte equação f ( x , y , z ) = 1 + 1 2 - t 2 = 2 - t 2 e d r → d t = 1 j → .Portanto: d r → d t = 1 2 = 1

Passo 4

Com essas parametrizações, podemos agora escrever que:

∫ C 1 ∪ C 2   f ( x , y , z ) d r ‾ d t d t = ∫ C 1   f ( x , y , z ) d r ‾ d t d t + ∫ C 2   f ( x , y , z ) d r ‾ d t d t

Substituindo os valores de f ( x , y , z ) e de d r ‾ d t encontrados acima na integral, teremos que:

∫ c 1 ∪ C 2   f ( x , y , z ) d r ‾ d t d t = ∫ 0 1   2 t 1 + 4 t 2 d t + ∫ 0 1   2 - t 2 1 d t

Passo 5

A integral ∫ 0 1   2 t 1 + 4 t 2 d t , encontrada acima, deve ser resolvida por substituição com: u = 1 + 4 t 2 e d u = 8 t d t e o resultado é apresentado abaixo.

∫ 0 1   2 t 1 + 4 t 2 d t = ∫ 1 5   1 4 u 1 / 2 d u = 2 12 u 3 / 2 1 5 = 1 6 1 + 4 t 2 3 / 2 0 1

Passo 6

Voltando com o resultado do passo anterior em:

∫ c 1 ∪ C 2   f ( x , y , z ) d r ‾ d t d t = ∫ 0 1   2 t 1 + 4 t 2 d t + ∫ 0 1   2 - t 2 1 d t

Passo 7

Temos o resultado do exercício, que é:

  ∫ C 1 ∪ C 2     f ( x , y , z ) d r → d t d t = 1 6 1 + 4 t 2 3 2 0 1 + 2 t - 1 3 t 3 0 1   = 1 6 [ 5 5 + 9 ]

Resposta

Resposta nos passos.

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