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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.2 - Ex. 2

Encontre os campos gradientes das funções nos Exercícios 1-4.

f ( x , y , z ) = l n ⁡ x 2 + y 2 + z 2

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

De acordo com a definição da página 371 do livro, o campo gradiente de uma função derivável f ( x , y , z ) é um campo de vetores gradiente ∇ → f = ∂ f ∂ x i → + ∂ f ∂ y j → + ∂ f ∂ z k → .

Passo 2

Vamos começar realizando o que segue. Verifique!Se f ( x , y , z ) = l n ⁡ x 2 + y 2 + z 2 1 / 2 , para encontrarmos o campo de vetores gradiente de f ( x , y , z ) devemos encontrar as derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis.Segundo uma das propriedades dos logaritmos, podemos escrever que:

f ( x , y , z ) = l n ⁡ x 2 + y 2 + z 2 1 / 2 = 1 2 l n ⁡ x 2 + y 2 + z 2

Obs.: Para o cálculo das derivadas devemos aplicar a seguinte regra:

∂ f ∂ x = ∂ f ∂ u × ∂ u ∂ x ,  com  u = x 2 + y 2 + z 2

Passo 3

Em seguida você deve começar por derivar em relação a x :

∂ f ( x , y , z ) ∂ x = 1 2 ∂ l n ⁡ x 2 + y 2 + z 2 ∂ x = 1 2 1 x 2 + y 2 + z 2 ( 2 x ) = x x 2 + y 2 + z 2

Em relação a y , será:

∂ f ( x , y , z ) ∂ y = 1 2 ∂ l n ⁡ x 2 + y 2 + z 2 ∂ y = 1 2 1 x 2 + y 2 + z 2 ( 2 y ) = y x 2 + y 2 + z 2

Em relação a z , será:

∂ f ( x , y , z ) ∂ z = 1 2 ∂ l n ⁡ x 2 + y 2 + z 2 ∂ z = 1 2 1 x 2 + y 2 + z 2 ( 2 z ) = z x 2 + y 2 + z 2

Passo 4

Substituindo os resultados na expressão ∇ → f = ∂ f ∂ x i → + ∂ f ∂ y j → + ∂ f ∂ z k → Teremos com isso o resultado do exercício que será:

∇ → f = ∂ f ∂ x i → + ∂ f ∂ y j → + ∂ f ∂ z k → = x i → x 2 + y 2 + z 2 + y j → x 2 + y 2 + z 2 + z k → x 2 + y 2 + z 2 =   = x i → + y j → + z k → x 2 + y 2 + z 2

Resposta

Resposta nos passos.

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