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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 5.2 - Ex. 1

Calcule a soma de Riemann para , f x = 3 - 1 2 x , 2 ≤ x ≤ 14 com seis subintervalos, tomando os pontos amostrais como as extremidades esquerdas. Explique, com a ajuda de um diagrama, o que representa a soma de Riemann.

Passo 1

Opa! E aí, bora resolver essa questão?! O enunciado pede pra a gente calcular a soma de Riemann para essa função aqui:

f x = 3 - 1 2 x

No intervalo 2 ≤ x ≤ 14 . Ou seja, queremos calcular:

∫ 2 14 3 - 1 2 x   d x

Pra isso ele pede pra a gente subdividir o intervalo dado em 6 subintervalos, ou seja n = 6 e devemos considerar a extremidade esquerda de cada subintervalo pro nosso cálculo!

O próprio enunciado já diz que a gente deve resolver o problema pela soma de Riemann, pra isso a gente vai usar essa forma geral aqui:

∫ a b f x   d x = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f ( x i * )   Δ x

Onde Δ x é dado por:

Δ x = b - a n  

Como a gente vai pegar os pontos da extremidade esquerda de cada intervalo, temos então x i * = x i - 1 , que pode ser calculado por:

x i - 1 = a + i - 1 Δ x

Na prática, pra fazer o exercício, vamos abrir a integral ali de cima e vamos ficar com:

R n = Δ x f x 0 + f x 1 + f x 2 + … + f x n

Passo 2

Beleza, então a soma de Riemann vai nos dar uma estimativa de:

∫ 2 14 3 - 1 2 x   d x

Então vamos começar calculando o nosso Δ x e os valores de x i * que são x 0 ,   x 1 ,   … ,   x 6 . Temos:

Δ x = b - a n = 14 - 2 6 = 2

Pra calcular x i * eu mostrei a fórmula lá em cima. Mas vamos pensar da forma intuitiva, temos a curva 3 - 1 2 x que vai de x = 2 até x = 14 , precisamos dividir esse intervalo em 6 subintervalos com largura de Δ x = 2 e depois pegar o ponto mais à esquerda de cada intervalo.

O primeiro intervalo vai de x = 2 até x = 4 , então o ponto mais à esquerda é x = 2 .

O primeiro intervalo vai de x = 4 até x = 6 , então o ponto mais à esquerda é x = 4 .

E assim sucessivamente, então ficamos com:

x 0 = 2 ; x 1 = 4 ; x 2 = 6 ; x 3 = 8 ; x 4 = 10 ; x 5 = 12

Tem situações onde é legal se guiar pela fórmula, mas quanto mais intuitivo for o cálculo, mas fácil é da gente não errar em outros exercícios! Beleza?!

Pra finalizar esse passo vamos calcular cada f ( x i * ) :

f 2 = 3 - 1 2 2 = 2

f 4 = 3 - 1 2 4 = 1

f 6 = 3 - 1 2 6 = 0

f 8 = 3 - 1 2 8 = - 1

f 10 = 3 - 1 2 10 = - 2

f 12 = 3 - 1 2 12 = - 3

Passo 3

Temos tudo o que precisamos em mãos, agora é só correr pro abraço e substituir os dados em:

R 6 = Δ x f x 0 + f x 1 + f x 2 + … + f x 6

Ficamos com:

R 6 = 2 2 + 1 + 0 + - 1 + - 2 + - 3 = 2 - 3

R 6 = - 6

Passo 4

Agora a gente vai tentar entender, geometricamente o que fizemos nesse exercício!

A nossa função é f x = 3 - 1 2 x no intervalo 2 ≤ x ≤ 14 , se esboçarmos essa curva, teremos:

A integral de f x nesse intervalo é a área dessas regiões pintadinhas de azul, que esta acima do eixo x menos a região vermelha que esta abaixo do eixo x !

Na soma de Riemann a gente dividiu esse intervalo de x em 6 pedacinhos e calculamos Δ x × f ( x i * ) . Essa multiplicação te lembra alguma coisa?! O que fizemos pra cada intervalo foi:

b a s e × a l t u r a

Ou seja, calculamos a área desses 6 retângulos e isso nos dá o valor aproximado da integral. Se a gente desenhar o que fizemos, vamos ter isso daqui:

Repara que a “altura” é sempre o ponto mais a esquerda de cada intervalo, como o enunciado pediu.

Agora, você concorda comigo que quanto menor for a largura do retângulo e mais retângulos tivermos, mais precisa vai ser a nossa conta. E que quando n tende a infinito a gente tem o valor exato da integral?!

Esse é o espirito da coisa!

Resposta

R 6 = - 6

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Expresse ∑ k = 4 18 k ( k - 3 ) Na notação com somatório, com k = 0 como limite inferior do somatório k = 5 como limite inferior do somatório
Em cada parte, encontre o limite interpretando-o como o limite de uma soma de Riemann, na qual o intervalo [ 0 ,1 ] está dividido em n subintervalos de mesmo comprimento. lim n → ∞ ⁡ 1 + 2 + 3 + … + n
Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.Se f ( x ) for côncava para baixo no intervalo ( a , b ) , então a aproximação trapezoidal T n subestima ∫ a b f ( x ) d x .
Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.A aproximação pelo ponto médio M n , é a média das aproximações pelas extremidades esquerda L n e direita R n .
Use as desigualdades (12), (13) e (14) para encontrar cotas superiores para os erros nas partes (a), (b) e (c) dos exercícios indicados.Exercício 3 ∫ 0 π / 2 cos ⁡ x d x