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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.Revisão - Ex. 19

Expresse

∑ k = 4 18 k ( k - 3 )

Na notação com somatório, com

  1. k = 0 como limite inferior do somatório
  2. k = 5 como limite inferior do somatório

Passo 1

  1. k = 0 como limite inferior do somatório

    2. A primeira coisa que devemos fazer é analisar a estrutura do somatório fornecida pelo problema:

    ∑ k = 4 18 k ( k - 3 )

    Entretanto, o problema pede para que nós façamos a troca do inferior do somatório por k = 0 , e como podemos ver, esse intervalo está sendo reduzido J pontos.

    Por consequência, teremos que reduzir também o limite superior do somatório. Mas, vamos tratar essas informações com cuidado. Tinhamos um k = 4   e um k = 0 , reduzido em J pontos, que entender da seguinte maneira:

    J = k - 4

    Então, se k = 4 :

    J = 4 - 4

    J = 0

    Então, se k = 1 8 :

    J = 18 - 4

    J = 14

    Podemos mudar os limites inferiore e superior do somatório, e para isso, precisamos também substituir os valors de k para   J + 4 = k . Substituindo:

    ∑ k = 4 18 k ( k - 3 ) = ∑ J = 0 J = 1 4 ( J + 4 ) ( J + 4 - 3 )

    Resolvendo:

    ∑ k = 4 18 k k - 3 = ∑ J = 0 J = 14 J + 4 J + 1

    Como J é uma variável aleatória, podemos escrever como:

    ∑ k = 4 18 k k - 3 = ∑ k = 0 k = 14 k + 4 k + 1

    Passo 2

  2. k = 5 como limite inferior do somatório

Faremos os mesmo que no item (a) , a diferença é que nós nomeamos o limite inferior como J e sabemos que J = k - 4 , sabemos que o limite inferior deve ser igual a 5 , então estaríamos somando 5 no limite, mais ou menos assim:

J = k - 4 + 5

J = k + 1

k = j - 1

Tinhamos um k = 4   e um k = 0 , reduzido em J pontos, que entender da seguinte maneira:

J = k + 1

Então, se k = 4 :

J = 4 + 1

J = 5

Então, se k = 18 :

J = 18 + 1

J = 1 9

Podemos mudar os limites inferiore e superior do somatório, e para isso, precisamos também substituir os valors de k para   J - 1 = k . Substituindo:

∑ k = 4 18 k ( k - 3 ) = ∑ J = 5 J = 1 9 ( J - 1 ) ( J - 4 )

Resolvendo:

Como J é uma variável aleatória, podemos escrever como:

∑ k = 5 k = 1 9 k - 1 k - 4

Resposta

(a) ∑ k = 0 k = 14 k + 4 k + 1

(b) ∑ k = 5 k = 1 9 k - 1 k - 4

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