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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.7 - Ex. 9

Use as desigualdades (12), (13) e (14) para encontrar cotas superiores para os erros nas partes (a), (b) e (c) dos exercícios indicados.

Exercício 3

∫ 0 π / 2 cos ⁡ x d x

Passo 1

A ideia aqui é estimar esse limitante superior para erro pelas fórmulinhas:

E M ≤ b - a 3 K 2 24 n 2

E T ≤ b - a 3 K 2 12 n 2

E S ≤ b - a 5 k 4 180 n 4

Só usar uma para cada letra do enunciado. Vamos lá!

Passo 2

Na parte do (a) do exercício a gente achou uma aproximação da integral pelo método do ponto médio. Então a gente precisa calcular:

E M ≤ b - a 3 K 2 24 n 2

Onde K 2 é o valor máximo de f ' ' x no intervalo da integral.

Temos que:

f x = cos ⁡ x

Derivando duas vezes:

f ' x = - s e n   x ,   f ' ' ( x ) = - cos ⁡ x  

Dentro do intervalo 0 , π 2 , o maior valor de cosseno em módulo é 1 . Aí vemos que:

K 2 = f ' ' 0 = 1  

Passo 3

Como queremos estimar o erro máximo de M 10 , n = 10 ,   a = 0 e b = π 2 . Nossa fórmulinha fica:

E M ≤ π 2 - 0 3 1 24 ⋅ 10 2

Logo:

E M ≤ 0,00161

Passo 4

Na parte do (b) do exercício a gente achou uma aproximação da integral pelo método trapezoidal. Então a gente precisa calcular:

E T ≤ b - a 3 K 2 12 n 2

Onde K 2 é o valor máximo de f ' ' x no intervalo da integral.

Já vimos que:

K 2 = 1

Como queremos estimar o erro máximo de T 10 , n = 10 ,   a = 0 e b = π / 2 . Nossa fórmulinha fica:

E T ≤ π 2 - 0 3 1 12 ⋅ 10 2

Logo:

E T ≤ 0,00322

Passo 5

Na parte do (c) do exercício a gente achou uma aproximação da integral pelo método de Simpson. Então a gente precisa calcular:

E S ≤ b - a 5 K 4 180 n 4

Onde K 4 é o valor máximo de f ( 4 ) x no intervalo da integral.

Temos que:

f ' ' ( x ) = - cos ⁡ x

Derivando duas vezes:

f ' ' ' x = s e n   x ,   f 4 ( x ) = cos ⁡ x  

Dentro do intervalo 0 , π 2 , o maior valor de cosseno em módulo é 1 . Aí vemos que:

K 4 = f 4 0 = 1  

Passo 6

Como queremos estimar o erro máximo de S 20 , n = 20 ,   a = 0 e b = π / 2 . Nossa fórmulinha fica:

E S ≤ π 2 - 0 5 1 180 ⋅ 20 4

Logo:

E S ≤ 3,32053 ⋅ 10 - 7

Resposta

E M ≤ 0,00161

E T ≤ 0,00322

E S ≤ 3,32053 ⋅ 10 - 7

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Expresse a integral como um limite de somas. Depois, calcule, usando um sistema de computação álgébrica para encontrar a soma e o limite. 31 . ∫ 0 π sen ⁡ 5 x d x
28. Demonstre que ∫ a b x 2 d x = b 3 - a 3 2 .
Expresse a integral como um limite de somas. Depois, calcule, usando um sistema de computação álgébrica para encontrar a soma e o limite. 32 . ∫ 2 10 x 6 d x
27. Demonstre que ∫ a b x d x = b 2 - a 2 2 .
Use a forma da definição de integral dada no Teorema 4 para calcular a integral. ∫ 0 5 ( 1 + 2 x ³ ) . d x ³