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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.2 - Ex. 25

Calcule a soma

sum_(k = 1)^5 k ( 3 k + 5 )

Passo 1

Bom, a questão é bem direta ao ponto. Precisamos calcular este somatório. Para isto, temos duas opções: ou fazemos na “raça”, calculando cada termo e depois somando-os, ou utilizamos algumas regras discutidas durante o capítulo sobre somas finitas. Nossa escolha será a segunda metodologia. Devemos ter um domínio no uso destas regras para que, qualquer somatório que nos apareça, consigamos resolver facilmente.

Vamos então para a nossa questão!

Passo 2

Vamos começar por organizar o nosso somatório. Multiplicando pelo valor de k , temos:

sum_(k = 1)^5 k ( 3 k + 5 ) = sum_(k = 1)^5 3 k^2 + 5 k

Utilizando a regra da soma, separamos em dois somatórios:

sum_(k = 1)^5 3 k^2 + 5 k = sum_(k = 1)^5 3 k^2 + sum_(k = 1)^5 5 k

E agora, utilizando a regra de multiplicação de uma constante, obtemos:

sum_(k = 1)^5 3 k^2 + sum_(k = 1)^5 5 k = 3 * sum_(k = 1)^5 k^2 + 5 * sum_(k = 1)^5 k

Passo 3

Separamos então o nosso somatório em dois somatórios. Na seção do livro vimos que a soma dos n primeiros números inteiros é dado por:

sum_(k = 1)^n k = (n ( n + 1 ))/(2)

Portanto, para n = 5 , temos:

sum_(k = 1)^5 k = (5 ( 5 + 1 ))/(2) = 15

Passo 4

Já a soma dos primeiros n quadrados é dada pela seguinte relação:

sum_(k = 1)^n k^2 = (n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ))/(6)

Portanto, temos:

sum_(k = 1)^5 k^2 = (5 ( 5 + 1 ) ( 10 + 1 ))/(6) = 55

Passo 5

Agora, basta substituirmos os valores descobertos nos Passos 3 e 4 na relação descrita no Passo 2. Sendo assim, o somatório é igual a:

sum_(k = 1)^5 k ( 3 k + 5 ) = 3 * 55 + 5 * 15 = 240

Resposta

sum_(k = 1)^5 k ( 3 k + 5 ) = 240

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