Calcule a soma

∑ k = 1 5 k ( 3 k + 5 )

Passo 1

Bom, a questão é bem direta ao ponto. Precisamos calcular este somatório. Para isto, temos duas opções: ou fazemos na “raça”, calculando cada termo e depois somando-os, ou utilizamos algumas regras discutidas durante o capítulo sobre somas finitas. Nossa escolha será a segunda metodologia. Devemos ter um domínio no uso destas regras para que, qualquer somatório que nos apareça, consigamos resolver facilmente.

Vamos então para a nossa questão!

Passo 2

Vamos começar por organizar o nosso somatório. Multiplicando pelo valor de k , temos:

∑ k = 1 5 k ( 3 k + 5 ) = ∑ k = 1 5 3 k 2 + 5 k

Utilizando a regra da soma, separamos em dois somatórios:

∑ k = 1 5 3 k 2 + 5 k = ∑ k = 1 5 3 k 2 + ∑ k = 1 5 5 k

E agora, utilizando a regra de multiplicação de uma constante, obtemos:

∑ k = 1 5 3 k 2 + ∑ k = 1 5 5 k = 3 ⋅ ∑ k = 1 5 k 2 + 5 ⋅ ∑ k = 1 5 k

Passo 3

Separamos então o nosso somatório em dois somatórios. Na seção do livro vimos que a soma dos n primeiros números inteiros é dado por:

∑ k = 1 n k = n ( n + 1 ) 2

Portanto, para n = 5 , temos:

∑ k = 1 5 k = 5 ( 5 + 1 ) 2 = 15

Passo 4

Já a soma dos primeiros n quadrados é dada pela seguinte relação:

∑ k = 1 n k 2 = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6

Portanto, temos:

∑ k = 1 5 k 2 = 5 ( 5 + 1 ) ( 10 + 1 ) 6 = 55

Passo 5

Agora, basta substituirmos os valores descobertos nos Passos 3 e 4 na relação descrita no Passo 2. Sendo assim, o somatório é igual a:

∑ k = 1 5 k ( 3 k + 5 ) = 3 ⋅ 55 + 5 ⋅ 15 = 240

Resposta

∑ k = 1 5 k ( 3 k + 5 ) = 240

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