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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.8 - Ex. 79

Calcule o valor da constante C para a qual a integral

∫ 0 ∞ 1 x 2 + 4 - C x + 2 d x

Converge. Calcule a integral para esse valor de C .

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o valor da constante C que faz a integral convergir e depois calcular a integral, usando o valor de C encontrado.

Para isso, vamos integrar apenas o primeiro termo da integral imprópria, ∫ 0 ∞ 1 x 2 + 4 d x , usando a substituição trigonométrica. Depois, vamos substituir o resultado dessa integral na integral que o enunciado nos deu e avaliar o valor de C .

Vamos lá!

Passo 2

Para o primeiro termo dos parênteses ∫ 0 ∞ 1 x 2 + 4 d x , iremos utilizar a substituição trigonométrica:

x = 2 tan ⁡ θ

d x = 2 sec 2 ⁡ θ d θ

Substituindo, temos:

∫ 1 x 2 + 4 d x = ∫ 2 sec 2 ⁡ θ 2 tan 2 ⁡ θ + 4 d θ

Usando as propriedades trigonométricas:

= ∫ 2 sec 2 ⁡ θ 2 sec ⁡ θ d θ

E simplificando:

= ∫ sec ⁡ θ d θ

Agora, resolvendo a integral, temos:

∫ sec ⁡ θ d θ = ln ⁡ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ

Só falta a gente voltar à nossa variável original x , usando a substituição que definimos lá em cima:

tan ⁡ θ = x 2

Dessa forma, temos:

sec ⁡ θ = x 2 + 4 2

Passo 3

Podemos então reescrever a integral inicial da seguinte maneira:

∫ 0 ∞ 1 x 2 + 4 - C x + 2 d x = lim t → ∞ ⁡ ln ⁡ x 2 + x 2 + 4 2 - C ln ⁡ x + 2   0 t

Aplicando os limites de integração, temos:

= l i m t → ∞ t + t 2 + 4 t + 2 C  

Para resolver esse limite, vamos aplicar a regra de L’Hospital (derivando numerador e denominador separadamente):

l i m t → ∞ 1 + t / t 2 + 4 C t + 2 C - 1

= 2 C lim t → ∞ ⁡ t + 2 C - 1

Dessa forma, se C < 1 , a integral diverge; se C = 1 , a integral converge para ln ⁡ 2 e se C > 1 , a integral diverge para - ∞ .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

∫ 0 ∞ 1 x 2 + 4 - C x + 2 d x = ln ⁡ 2 C lim t → ∞ ⁡ t + 2 C - 1 + ln ⁡ 2 C - 1

Se C < 1 , a integral diverge.

Se C = 1 , a integral converge para ln ⁡ 2

Se C > 1 , a integral diverge.

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