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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.7 - Ex. 46

Utilize a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar a integral quanto à convergência. Se mais de um método puder ser aplicado, use o de sua preferência.

∫ - 1 1 - x  ln ⁡ | x | d x

Passo 1

Como temos módulo, vamos dividir essa integral em duas:

∫ - 1 0 - x  ln ⁡ ( - x ) d x +   ∫ 0 1 - x   ln ⁡ x d x

Vamos calcular a integral indefinida ∫ x   ln ⁡ x   d x   usando integração por partes.

Passo 2

Escolhemos u = ln ⁡ x e d v = x   d x , daí temos: d u = 1 x e v = x 2 2

Montando a integração, ficamos com:

x 2 2 ln ⁡ x -   ∫ x 2 2 1 x d x = x 2 ln ⁡ x 2 - x 2 4

Agora, jogamos os limites da integração:

  • ∫ - 1 0 - x   ln ⁡ - x d x =   - x 2 ln ⁡ x 2 - x 2 4 ] 0 - 1 = - 1 l n 1 2 - 1 4 = - 1 4  
  • ∫ 0 1 - x  ln ⁡ x d x = - x 2 ln ⁡ x 2 - x 2 4 ] 1 0 = - 1   l n 1   2 + 1 4 = 1 4

Então: ∫ - 1 0 - x ln ⁡ ( - x ) d x +   ∫ 0 1 - x   ln ⁡ x d x =   - 1 4 + 1 4 = 0

A integral converge.

Resposta

∫ - 1 1 - x ln ⁡ | x | d x converge.

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