Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.2 - Ex. 8

Calcule o valor da integral de linha, onde é a curva dada.

, consiste no arco de círculo de até seguido pelo segmento de linha de até .

Passo 1

Fala, galerinha! De boa?

A questão pede o valor da nossa integral de linha:

Sob a curva em que consiste no arco de círculo de até seguido pelo segmento de linha de até .

Uma integral de linha é como uma integral convencional que ao invés de integrarmos sobre um intervalo, vamos integrar sobre uma curva .

Nesse caso nossa curva está sendo dada em duas partes, pelo arco e pelo segmento de linha. Então, faremos duas integrais, uma sob cada um dessas partes de curva, e depois somamos para acharmos nossa integral de linha total.

Para resolvermos essas integrais, precisamos parametrizar nossos valores de , , e em função de . Depois, é só substituirmos na nossa equação acima e calcularmos nossa integral normalmente. e são equações paramétricas da nossa linha .

Então, nossa resolução será feita primeiro encontrando as equações paramétricas e que iremos usar.

Vamos passo a passo!

Passo 2

Nesse exercício, devemos dividir a integral em duas curvas, e , pois temos dois segmentos não contínuos. Vamos achar as equações paramétricas para cada um dos seguimentos:

: arco de círculo de até

Lembra das nossas integrais sobre regiões circulares, onde era mais fácil descrevermos essas regiões em coordenas polares? Aqui temos um arco de círculo, então podemos usar a mesma estratégia:

Para as coordenadas polares:

Como termos um círculo com equação:

Vemos que seu raio é:

Então:

Aí nossos parâmetros ficam:

Vamos achar nossa variação por esses parâmetros:

Ponto inicial :

Temos então, resolvendo cada uma das equações:

A variação de será:

Passo 3

: segmento de linha de até

Para o segmento de linha, utilizamos a parametrização linear:

Usando os pontos e :

Vamos achar nossa variação por esses parâmetros:

Ponto inicial :

Ponto final :

A variação de será:

As derivadas de e com relação a para cada curva são:

Agora que já temos essas informações, podemos calcular nossas integrais.

Passo 4

Vamos antes de tudo montar:

Para cada curva:

Substituindo:

Agora que temos nossas funções parametrizadas e seus limites de integração em , é só calcularmos nossas integrais, onde as variações de são nossos limites de integração.