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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.2 - Ex. 8

Calcule o valor da integral de linha, onde C é a curva dada.

∫ x 2 d x + y 2 d y , C consiste no arco de círculo x 2 + y 2 = 4 de ( 2,0 ) até ( 0,2 ) seguido pelo segmento de linha de ( 0,2 ) até ( 4,3 ) .

Passo 1

Fala, galerinha! De boa?

A questão pede o valor da nossa integral de linha:

∫ x 2 d x + y 2 d y

Sob a curva C em que C consiste no arco de círculo x 2 + y 2 = 4 de ( 2,0 ) até ( 0,2 ) seguido pelo segmento de linha de ( 0,2 ) até ( 4,3 ) .

Uma integral de linha é como uma integral convencional que ao invés de integrarmos sobre um intervalo, vamos integrar sobre uma curva C .

Nesse caso nossa curva está sendo dada em duas partes, pelo arco e pelo segmento de linha. Então, faremos duas integrais, uma sob cada um dessas partes de curva, e depois somamos para acharmos nossa integral de linha total.

∫ C x 2 d x + y 2 d y = ∫ C 1 x 2 d x + y 2 d y + ∫ C 2 x 2 d x + y 2 d y

Para resolvermos essas integrais, precisamos parametrizar nossos valores de x , y , d x e d y em função de t . Depois, é só substituirmos na nossa equação acima e calcularmos nossa integral normalmente. x t e y t são equações paramétricas da nossa linha C .

Então, nossa resolução será feita primeiro encontrando as equações paramétricas x t e y t que iremos usar.

Vamos passo a passo!

Passo 2

Nesse exercício, devemos dividir a integral em duas curvas, C 1 e C 2 , pois temos dois segmentos não contínuos. Vamos achar as equações paramétricas para cada um dos seguimentos:

  • C 1 : arco de círculo x 2 + y 2 = 4 de ( 2,0 ) até ( 0,2 )

    • Lembra das nossas integrais sobre regiões circulares, onde era mais fácil descrevermos essas regiões em coordenas polares? Aqui temos um arco de círculo, então podemos usar a mesma estratégia:

    Para as coordenadas polares:

    x = r cos ⁡ t

    y = r sen ⁡ t

    Como termos um círculo com equação:  

    x 2 + y 2 = 4

    Vemos que seu raio é:

    r 2 = 4

    Então:

    r = 2

    Aí nossos parâmetros ficam:

    x = 2 cos ⁡ t

    y = 2 sen ⁡ t

    Vamos achar nossa variação por esses parâmetros:

    • Ponto inicial ( 2,0 ) :

      • 2 = 2 cos ⁡ t

      t = 2 sen ⁡ t

      Temos então, resolvendo cada uma das equações:

      t = 0

      t = π 2

      A variação de t será:

      0 ≤ t ≤ π 2

      Passo 3

    • C 2 : segmento de linha de ( 0,2 ) até ( 4,3 )

      • Para o segmento de linha, utilizamos a parametrização linear:

      x t = x 1 + t ( x 2 - x 1 )

      y t = y 1 + t ( y 2 - y 1 )

      Usando os pontos ( 0,2 ) e ( 4,3 ) :

      x t = 4 t

      y t = 2 + t

      Vamos achar nossa variação por esses parâmetros:

    • Ponto inicial ( 0 , 2 ) :

      • 0 = 4 t → t = 0

      2 = 2 + t → t = 0

    • Ponto final ( 4 , 3 ) :

    4 = 4 t → t = 1

    3 = 2 + t → t = 1

    A variação de t será:

    0 ≤ t ≤ 1

    As derivadas de x e y com relação a t para cada curva são:

    C 1 → d x = - 2 s e n t   d t ,     d y = 2 cos ⁡ t d t

    C 2 → d x = 4 d t ,     d y = d t

    Agora que já temos essas informações, podemos calcular nossas integrais.

    Passo 4

    Vamos antes de tudo montar:

    f x t , y t = x 2 d x + y 2 d y

    Para cada curva:

  • C 1 :

    • x = r cos ⁡ t

    y = r sen ⁡ t

    d x = - 2 s e n t   d t ,     d y = 2 cos ⁡ t d t

    Substituindo:

    2 cos ⁡ t 2 ( - 2 s e n   t   d t ) + 2 s e n   t 2 2 cos ⁡ t d t

  • C 2 :

x t = 4 t

y t = 2 + t

d x = 4 d t ,     d y = d t

Substituindo:

f x t , y t = 4 t 2 4 d t + 2 + t 2 d t

Agora que temos nossas funções parametrizadas e seus limites de integração em t , é só calcularmos nossas integrais, onde as variações de t são nossos limites de integração.

Passo 3

∫ x 2 d x + y 2 d y = ∫ 0 π / 2 2 cos ⁡ t 2 ( - 2 s e n   t   d t ) + 2 s e n   t 2 2 cos ⁡ t d t + ∫ 0 1 4 t 2 4 d t + 2 + t 2 d t

Reescrevendo a integral, agrupando os termos em comum, temos:

8 ∫ 0 π / 2 - cos 2 ⁡ t s e n   t + s e n 2 t cos ⁡ t   d t + ∫ 0 1 65 t 2 + 4 t + 4   d t

Passo 4

Agora, resolvendo cada integral para t , temos:

8 1 3 cos 3 ⁡ t + 1 3 s e n 3 t 0 π / 2 + 65 3 t 3 + 2 t 2 + 4 t 0 1

Aplicando os limites de integração:

8 1 3 0 3 + 1 3 1 3 - 1 3 1 3 + 1 3 0 3 + 65 3 1 3 + 2 1 2 + 4 1 - 0

Simplificando:

= 8 1 3 - 1 3 + 65 3 + 2 + 4

Dessa forma, o valor da integral é:

∫ x 2 d x + y 2 d y = 83 3

Resposta

∫ x 2 d x + y 2 d y = 83 3

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